中考数学专题训练-旋转模型几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）【练1】（2013北京中考）在ABC△中，ABAC，BAC（060），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，15060BCEABE，，判断ABE△的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若45DEC，求的值．知识关联图真题演练【练2】（2012年北京中考）在ABC△中，BABCBAC，，M是AC的中点，P是线段上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ．（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点BM，重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围．考点1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）例题精讲【例1】（14年海淀期末）已知四边形和四边形都是正方形，且．（1）如图，连接、．求证：；（2）如图，如果正方形的边长为，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，．①求的度数；②请直接写出正方形的边长的值．ABCDCEFGABCE1BGDGBGDE2ABCD2CEFGCCGBD∥BGBDBDECEFG【题型总结】手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？【例2】（2014年西城一模）四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，90BEF，BEEF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC。（1）如图24-1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及ECGC的值；（2）将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；ACDGEFB图图ACDGEFB【题型总结】此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种？【例3】（2015年海淀九上期末）如图1，在ABC△中，4BC，以线段AB为边作ABD△，使得ADBD，连接DC，再以DC为边作CDE△，使得DCDE，CDEADB．（1）如图2，当45ABC且90时，用等式表示线段ADDE，之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BFAF，．若90，依题意补全图3，求线段AF的长；请直接写出线段AF的长（用含的式子表示）．图2图3备用图EABCDEABCDEABCDEABCD图1【例4】（13年房山一模）（1）如图1，ABC△和CDE△都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BEAD．（2）如图2，在BCD△中，120BCD，分别以BC、CD和BD为边在BCD△外部作等边ABC△、等边CDE△和等边BDF△，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）①ADBECF；②BECADC；③60DPEEPCCPA；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PBPCPDBE．图1图2【题型总结】到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．考点2：角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等【例1】（2012年西城期末）已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN，连结MC，NC，MN．猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．FEDCBAGFEDCBAABCDEFFEDCBAGABCDEFGABCDEABCDEF【例2】（2014年平谷一模）（1）如图1，点分别是正方形的边上的点，，连接，则之间的数量关系是：．连结，交于点，且满足，请证明这个等量关系；（2）在ABC△中，，点分别为边上的两点．①如图2，当，时，应满足的等量关系是__________________；②如图3，当，，时，应满足的等量关系是____________________．【参考：】EF、ABCDBCCD、45EAFEFEFBEFD、、EFBEFDBDAEAF、MN、MNBMDN、、222DNBMMNABACDE、BC60BAC30DAEBDDEEC、、BAC(090)DAE21BDDEEC、、1cossin22ABCDEF图1BCDE图2ABCDE图3AMN考点3：对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型—90°）（全等型—120°）（全等型—任意角）【例1】四边形被对角线分为等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一条对角线的长度为，求四边形的面积．OABCEDNOMABCEDOEDCBAOFEDCBAOEDCBAABCDBDABDCBDACAC2ABCDDCBA【题型总结】角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题目的辅助线？【例2】已知：点是的平分线上的一动点，射线交射线于点，将射线绕点逆时针旋转交射线于点，且使．（1）利用图1，求证：PAPB；（2）如图1，若点是与的交点，当时，求PB与PC的比值；图1图2PMONPAOMAPAPONB180APBMONCABOP3POBPCBSSCAOPBMNTTNMBPOAC【例3】(初二期末)已知：如图，在ABC△中，ABAC，BAC，且60120．P为ABC△内部一点，且PCAC，120PCA．（1）用含的代数式表示APC，得APC=_______________________；（2）求证：BAPPCB；（3）求PBC的度数．BCPA【题型总结】对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪种图形同时出现？（【题型总结】一般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法。【练1】（2015年昌平九上期末）如图，已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，90BACDAE，ABAC，ADAE．连接BD交AE于M,连接CE交AB于N，BD与CE交点为F，连接AF．（1）如图1，求证：BDCE；（2）如图1，求证：AF是CFD的平分线；（3）如图2，当2AC，15BCE时，求CF的长.FEDCBA图1NM图2ABCDEFMN全能突破【练2】（2014西城九上期末）已知：ABC△，DEF△都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE.（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；（2）ABC△固定不动，将图1中的DEF绕点M顺时针旋转（o0≤≤o90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC固定不动，将图1中的DEF绕点M旋转（≤≤）角，作DHBC于点H．设BHx＝，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当6AB＝，2DE＝时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．o0o90图2备用图图1【练3】（2014年朝阳一模24题）在ABC△中，ACBC，在AED△中，ADED，点D、E分别在CA、AB上，（1）图①，若90ACBADE，则CD与BE的数量关系是______________；（2）若120ACBADE，将AED△绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是______________；（3）若2(090)ACBADE，将AED△绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）【练4】（2015年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：如图1，在RtABC△中，90BAC＝，ABAC＝，点，E在边BC上，45DAE＝．若3BD＝，1CE＝，求DE的长．D小辉发现，将绕点A按逆时针方向旋转90º，得到ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及45DAE＝，可证FAEDAE≌，得FEDE＝．解FCE，可求得EF(即DE)的长．请回答：在图2中，FCE的度数是__________，DE的长为_______RtABC____．参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形中，ABAD＝，180BD＋＝．EF，分别是边BCCD，上的点，且12EAFBAD＝．猜想线段BEEFFD，，之间的数量关系并说明理由．ABCD图1ABCDE图2FABCDE图3EFDABC【练5】（11年石景山一模）已知：如图，正方形中，,为对角线，将绕顶点逆时针旋转()，旋转后角的两边分别交于点、点，交,于点、点，联结、．（1）在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究与的面积的数量关系，写出结论并加以证明．ABCDACBDBACA045BDPQBCCDEFEFEQBACAEQAPQAEFQFCDBAPE【练6】（2015年延庆九上期末）已知：ABC△是O的内接三角形，ABAC，在BAC所对弧AC上，任取一点D，连接ADBDCD，，，（1）如图1，，直接写出ADB的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，如果60BAC，求证：BDCDAD；（3）如图3，如果120BAC，那么BDCD与AD之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明；（4）如果，直接写出BDCD与AD之间的数量关系.BACBACAOBCDAOBCDDCBOA图1图2图3【练7】（1)如图，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：;(2)如图在四边形中，，分别是边上的点，且，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．(3)如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．ABCD90ABADBD，EF、BCCD、12EAF=BADEFBEFDABCD180ABADB+D，EF、BCCD、12EAFBADABCDABAD180BADCEF，BCCD，12EAFBADEFDCBAEFDCBAEFDCBA【练8】小华遇到这样一个问题，如图1,ABC中，ACB30º，65BCAC，，在ABC内部有一点P，连接PAPBPC、、，求PAPBPC的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这