极坐标

【考点分析】(1)考查极坐标系与极坐标．(2)考查点的极坐标与直角坐标的互化．(3)考查特殊圆与直线的极坐标方程．【复习指导】解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．1.极坐标系的概念：在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθy＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2tanθ＝yxx≠0.3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.4．圆的极坐标方程：若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；(3)当圆心位于Ma，π2，半径为a：ρ＝2asinθ.●两个要点(1)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．(2)由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称．●两种互化(1)将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由tanθ＝yx(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可．(2)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(或除以)ρ等技巧．考点串串讲1．极坐标系(1)一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，点O称为极点，射线OX称为极轴．设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线OX为始边，射线OM为终边所成的角，那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置．其中，ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．由极径的意义可知ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们规定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可以取任意角．(2)极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．注意如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点M的极坐标．但这样建立的极坐标系，平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系．(3)极坐标与直角坐标的互化．当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，两种坐标系中取相同的长度单位时，平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则有互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，和ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.(4)在极坐标与直角坐标相互转化的两组公式中，把极坐标化为直角坐标得到的点的坐标是唯一的，但在把直角坐标化为极坐标时，所得的极坐标就不唯一，为了避免这一麻烦，通常在没有特别说明时，可取ρ≥0，θ∈[0,2π)(最小非负角)，有时也可取θ∈(－π，π](绝对值最小角)．答案：B1.在极坐标系中，若点A，B的坐标分别是3，π3，4，－π6，则△AOB为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：由题意知∠AOB＝π3－－π6＝π2，故选B.2．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为()A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆答案：C解析：∵ρcosθ＝4sinθcosθ，∴ρ＝4sinθ或cosθ＝0，∴ρ2＝4ρsinθ或θ＝kπ＋π2.∴x2＋y2＝4y或x＝0.∴ρcosθ＝2sin2θ表示一条直线和一个圆．解析：直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．3．点P的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________．答案：2，3π4答案：5,64．在极坐标系中，若点A，B的坐标分别为3，π3，4，－π6，则|AB|＝________，S△AOB＝________(其中O是极点)．5．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．解析：将ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1分别化为直角坐标方程得x＋y＝1，y－x＝1，解得交点坐标为(0,1)，故其极坐标为1，π2.答案：1，π2在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y，(1)求点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标；(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得的直线l′的方程；(3)求双曲线C：x2－y264＝1经过φ变换后所得到的曲线C′的焦点坐标．【解】(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：x′＝3x2y′＝y得到x′＝3xy′＝12y，由于A(x，y)为13，－2，∴x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1，∴A′的坐标为(1，－1)．(2)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，则x＝13x′y＝2y′，将x＝13x′y＝2y′代入y＝6x得2y′＝6×13x′，即y′＝x′∴直线l′的方程为y＝x.(3)设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，则x＝13x′y＝2y′，将x＝13x′y＝2y′，代入x2－y264＝1得x′29－4y′264＝1，化简得x′29－y′216＝1，∴曲线C′的方程为x29－y216＝1.可见曲线C′仍为双曲线，且焦点坐标为F1(－5,0)、F2(5,0)．在同一坐标系中，曲线C经过伸缩变换x′＝x，y′＝12y后得到的曲线方程为y′＝lg(x′＋5)，求曲线C的方程．解：将x′＝x，y′＝12y代入y′＝lg(x′＋5)得12y＝lg(x＋5)，即y＝2lg(x＋5)为所求曲线C的方程.(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点．【分析】依条件利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ化为直角坐标方程后求解．【解】(1)由ρcosθ－π3＝1得ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.(2)M点的直角坐标为(2,0)．N点的直角坐标为0，233.所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．(1)极坐标系与直角坐标系在满足极点、极轴分别与原点、x轴正半轴重合时，可用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ将极坐标方程化为直角坐标方程；反之，利用ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)可以将直角坐标方程化为极坐标方程．(2)求解与极坐标有关的问题，应注意先化为直角坐标后解决较为方便．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0.由题设，知圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a|32＋42＝1，解得a＝－8或a＝2.故a的值为－8或2.【分析】利用极坐标或直角坐标求解．在极坐标系中定点A1，π2，点B在直线l：ρcosθ＋ρsinθ＝0上运动，当线段AB最短时，求点B的极坐标．【解】解法一：ρcosθ＋ρsinθ＝0，∴cosθ＝－sinθ，tanθ＝－1.∴直线的极坐标方程化为θ＝3π4(直线如图)．过A作直线垂直于l，垂足为B.∴|OB|＝22.∴B点的极坐标为22，3π4.解法二：将极坐标化为直角坐标，点A1，π2的直角坐标为A(0,1)，直线l的直角坐标方程为x＋y＝0，若线段AB最短，则AB⊥l，且B为垂足．过A与l垂直的直线方程为y－1＝x，联立方程x＋y＝0x－y＋1＝0，得B点坐标为－12，12，再化为极坐标为22，3π4.在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________．解析：如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－90°，OB＝22＝ρsinθ－90°，化简得ρ＝－22cosθ.答案：ρ＝－22cosθ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．【分析】利用极坐标与直角坐标的互化公式求解．【解】(1)ρ＝4cosθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ；ρ＝－4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsinθ.由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0.(2)由x2＋y2－4x＝0，①x2＋y2＋4y＝0，②①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0为所求直线方程．因为极坐标方程与直角坐标方程的这种互化关系，所以几乎所有的极坐标方程问题都可以转化为直角坐标方程来解．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cosθ－π6上的动点，则|PQ|的最大值是________．解析：∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又∵ρ＝12cosθ－π6，答案：18∴ρ2＝12ρcosθcosπ6＋sinθsinπ6，∴x2＋y2－63x－6y＝0，∴(x－33)2＋(y－3)2＝36，∴|PQ|max＝6＋6＋332＋32＝18.1.点的极坐标的多样性：由于角θ表示方法的多样性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不惟一，即一个点的极坐标有多种表达形式．对于给定的一点M，|OM|＝ρ0，∠xOM＝θ，极坐标(ρ，θ)与