2019年上海市崇明区中考数学一模试卷

第1页（共20页）2019年上海市崇明区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）若2x＝3y，则𝑥𝑦的值为（）A．23B．32C．53D．252．（4分）在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么𝐴𝐶𝐵𝐶表示∠A的（）A．正弦B．正切C．余弦D．余切3．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＜04．（4分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠DB．∠C＝∠AEDC．𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐷𝐸𝐵𝐶D．𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐸5．（4分）已知向量𝑎→和𝑏→都是单位向量，那么下列等式成立的是（）A．𝑎→=𝑏→B．𝑎→+𝑏→=2C．𝑎→−𝑏→=0D．|𝑎→|=|𝑏→|6．（4分）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径r＞1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．内含B．内切C．外离D．相交二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】第2页（共20页）7．（4分）化简：32𝑎→−(𝑎→−32𝑏→)=．8．（4分）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝．9．（4分）在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（4，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么cosα＝．10．（4分）如果一个正六边形的半径为2，那么这个正六边形的周长为．11．（4分）如果两个相似三角形的周长比为4：9，那么它们的面积比是．12．（4分）已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm．（结果保留根号）13．（4分）已知抛物线y＝（x﹣1）2﹣4，那么这条抛物线的顶点坐标为．14．（4分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2，那么它的图象在对称轴的部分是下降的（填“左侧”或“右侧”）．15．（4分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝．16．（4分）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC＝6，△ABC的高AH＝3，则正方形DEFG的边长为．17．（4分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8．如果以点C为圆心的圆与斜边AB有唯一的公共点，那么⊙C的半径R的取值范围为．18．（4分）如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC=√6，则线段EF的长为．第3页（共20页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°−𝑡𝑎𝑛30°2𝑐𝑜𝑠30°+cot30°•sin60°．20．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=23BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设𝐴𝐵→=𝑎→，𝐴𝐶→=𝑏→，求向量𝐷𝐸→（用向量𝑎→、𝑏→表示）．21．（10分）已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为𝐴𝐶̂的中点，OF交AC于点E，AC＝8，EF＝2．（1）求AO的长；（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．22．（10分）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，⊙O的半径为0.2米，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB，垂足为B，OD⊥AD，垂足为D，AB＝2米．（1）求支架BF的长；（2）求屋面AB的坡度．（参考数据：tan18°≈13，tan32°≈3150，tan40°≈2125）第4页（共20页）23．（12分）如图，△ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，∠BGD＝∠BAD＝∠C．（1）求证：BD•BC＝BG•BE；（2）如果∠BAC＝90°，求证：AG⊥BE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+6（a、b都是常数，且a＜0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），顶点为点C．（1）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；（2）过点B的直线y=−12x+3交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求∠CBD的余切值；（3）点P为抛物线上一个动点，当∠PBA＝∠CBD时，求点P的坐标．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，垂足为D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP＝x．（1）用含x的代数式表示线段DG的长；第5页（共20页）（2）设△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）△PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由．第6页（共20页）2019年上海市崇明区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）若2x＝3y，则𝑥𝑦的值为（）A．23B．32C．53D．25【解答】解：∵2x＝3y，∴2𝑥𝑦=3，则𝑥𝑦=32．故选：B．2．（4分）在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么𝐴𝐶𝐵𝐶表示∠A的（）A．正弦B．正切C．余弦D．余切【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴cotA=𝐴𝐶𝐵𝐶，故选：D．3．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＜0【解答】解：如图所示，抛物线开口向上，则a＞0，又因为对称轴在y轴左侧，故−𝑏2𝑎＜0，因为a＞0，所以b＞0，故选：A．4．（4分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（）第7页（共20页）A．∠B＝∠DB．∠C＝∠AEDC．𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐷𝐸𝐵𝐶D．𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐸【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．5．（4分）已知向量𝑎→和𝑏→都是单位向量，那么下列等式成立的是（）A．𝑎→=𝑏→B．𝑎→+𝑏→=2C．𝑎→−𝑏→=0D．|𝑎→|=|𝑏→|【解答】解：A、向量𝑎→和𝑏→都是单位向量，但方向不一定相同，则𝑎→=𝑏→不一定成立，故本选项错误．B、向量𝑎→和𝑏→都是单位向量，但方向不一定相同，则𝑎→+𝑏→=2不一定成立，故本选项错误．C、向量𝑎→和𝑏→都是单位向量，但方向不一定相同，则𝑎→−𝑏→=0不一定成立，故本选项错误．D、向量𝑎→和𝑏→都是单位向量，则|𝑎→|＝|𝑏→|＝1，故本选项正确．故选：D．6．（4分）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径r＞1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．内含B．内切C．外离D．相交【解答】解：∵r＞1，∴2＜3+r，∴这两个圆的位置关系不可能外离．故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应第8页（共20页）位置】7．（4分）化简：32𝑎→−(𝑎→−32𝑏→)=12𝑎→+32𝑏→．【解答】解：原式=32𝑎→−𝑎→+32𝑏→=12𝑎→+32𝑏→．故答案是：12𝑎→+32𝑏→．8．（4分）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝2．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即b2＝4，∴b＝±2（负数舍去）．故答案是：2．9．（4分）在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（4，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么cosα＝45．【解答】解：过点A作AB⊥x轴于点B，∵A（4，3），∴OB＝4，AB＝3，∴由勾股定理可知：OA＝5，∴cosα=𝑂𝐵𝑂𝐴=45，故答案为：4510．（4分）如果一个正六边形的半径为2，那么这个正六边形的周长为12．【解答】解：∵l正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a＝2，正六边形的周长＝6a＝12，第9页（共20页）故答案为：12．11．（4分）如果两个相似三角形的周长比为4：9，那么它们的面积比是16：81．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为4：9，∴两个相似三角形的相似比为4：9，∴两个相似三角形的面积比为16：81，故答案为：16：81．12．（4分）已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝5√5−5cm．（结果保留根号）【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC=√5−12AB＝（5√5−5）cm，故答案为：5√5−5．13．（4分）已知抛物线y＝（x﹣1）2﹣4，那么这条抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣4∴抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）故填空答案：（1，﹣4）．14．（4分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2，那么它的图象在对称轴的右侧部分是下降的（填“左侧”或“右侧”）．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2中，a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，∴抛物线图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小（下降）．故答案为：右侧．15．（4分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝103．【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=10，∵G为△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，∴CD=12AB＝5，∵G为△ABC的重心，第10页（共20页）∴CG=23CD=103，故答案为：103．16．（4分）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC＝6，△ABC的高AH＝3，则正方形DEFG的边长为2．【解答】解：高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x，∴AM＝AH﹣MH＝3﹣x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴𝐷𝐺𝐵𝐶=𝐴𝑀𝐴𝐻，即𝑥6=3−𝑥3，∴x＝2，∴正方形DEFG的边长为2．答：正方形DEFG的边长和面积分别为2．故答案为：2．17．（4分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8．如果以点C为圆心的圆与第11页（共20页）斜边AB有唯一的公共点，那么⊙C的半径R的取值范围为r＝4.8或6＜r≤8．【解答】解：根据勾股定理求得BC=√102−82=6，当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于245；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则6＜r≤8．故半径r的取值范围是r＝4.8或6＜r≤8．故答案为：r＝4.8或6＜r≤8．18．（4分）如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC=√6，则线段EF的长为√7或√6．【解答】解：作FH⊥AB于点H，连接EF．∵∠AFB＝90°，∴∠AFD+∠BFC＝90°，∵∠AMD+∠DA