2019年上海市虹口区中考数学一模试卷

第1页（共18页）2019年上海市虹口区中考数学一模试卷一、选择题1．（4分）抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）2．（4分）如果抛物线y＝（a+2）x2开口向下，那么a的取值范围为（）A．a＞2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＜﹣23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝5，AB＝13，那么cosA的值为（）A．513B．1213C．125D．5124．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5米B．5√3米C．2√5米D．4√5米5．（4分）如果向量𝑎→与单位向量𝑒→的方向相反，且长度为3，那么用向量𝑒→表示向量𝑎→为（）A．𝑎→=3𝑒→B．𝑎→=−3𝑒→C．𝑒→=3𝑎→D．𝑒→=−3𝑎→6．（4分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（）A．1：2B．2：3C．1：4D．4：9二、填空题7．（4分）如果𝑎𝑏=23，那么𝑎+𝑏𝑎的值为．第2页（共18页）8．（4分）计算：2𝑎→−（3𝑏→−𝑎→）＝9．（4分）如果抛物线y＝ax2+2经过点（1，0），那么a的值为．10．（4分）如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为．11．（4分）如果抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标为．12．（4分）如果点A（﹣5，y1）与点B（﹣2，y2）都在抛物线y＝（x+1）2+1上，那么y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA=23，BC＝4，那么AB＝．14．（4分）如图，AB∥CD∥EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC＝6，CE＝9，AF＝10，那么DF的长为．15．（4分）如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝．17．（4分）定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果PA＝2，那么PC＝．第3页（共18页）18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一直线上，那么EE1的长为．三、解答题19．（10分）计算：2𝑐𝑜𝑠230°−𝑠𝑖𝑛30°𝑡𝑎𝑛260°−4𝑐𝑜𝑠45°20．（10分）已知抛物线y＝2x2﹣4x﹣6．（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位后经过原点，求m的值．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cotA=43，BC＝6，点D、E分别在边AC、AB上，且DE∥BC，tan∠DBC=12．（1）求AD的长；（2）如果𝐴𝐶→=𝑎→，𝐴𝐵→=𝑏→，用𝑎→、𝑏→表示𝐷𝐸→．22．（10分）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：第4页（共18页）sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE•CD＝AD•CE；（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan∠OAB的值．25．（14分）如图，在四边形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点E为边AD上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．（1）如果cos∠DBC=23，求EF的长；（2）当点F在边BC上时，连接AG，设AD＝x，𝑆△𝐴𝐵𝐺𝑆△𝐵𝐸𝐹=y，求y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；（3）连接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的长．第5页（共18页）第6页（共18页）2019年上海市虹口区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣1＝﹣1，所以抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标为（0，﹣1）．故选：C．2．（4分）如果抛物线y＝（a+2）x2开口向下，那么a的取值范围为（）A．a＞2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＜﹣2【解答】解：∵抛物线y＝（a+2）x2开口向下，∴a+2＜0，∴a＜﹣2．故选：D．3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝5，AB＝13，那么cosA的值为（）A．513B．1213C．125D．512【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴cosA=𝐴𝐶𝐴𝐵=513，故选：A．4．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5米B．5√3米C．2√5米D．4√5米第7页（共18页）【解答】解：作BC⊥地面于点C，设BC＝x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴AC＝2x米，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2x）2+x2＝102，解得，x＝2√5，即BC＝2√5米，故选：C．5．（4分）如果向量𝑎→与单位向量𝑒→的方向相反，且长度为3，那么用向量𝑒→表示向量𝑎→为（）A．𝑎→=3𝑒→B．𝑎→=−3𝑒→C．𝑒→=3𝑎→D．𝑒→=−3𝑎→【解答】解：∵向量𝑒→为单位向量，向量𝑎→与向量𝑒→方向相反，∴𝑎→=−3𝑒→．故选：B．6．（4分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（）A．1：2B．2：3C．1：4D．4：9【解答】解：∵AD：ED＝3：1，∴AE：AD＝2：3，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴L△ABE：L△ACD＝2：3，故选：B．第8页（共18页）二、填空题7．（4分）如果𝑎𝑏=23，那么𝑎+𝑏𝑎的值为52．【解答】解：∵𝑎𝑏=23，∴设a＝2x，则b＝3x，那么𝑎+𝑏𝑎=2𝑥+3𝑥2𝑥=52．故答案为：52．8．（4分）计算：2𝑎→−（3𝑏→−𝑎→）＝3𝑎→−3𝑏→【解答】解：原式＝2𝑎→−3𝑏→+𝑎→=3𝑎→−3𝑏→．故答案是：3𝑎→−3𝑏→．9．（4分）如果抛物线y＝ax2+2经过点（1，0），那么a的值为﹣2．【解答】解：把（1，0）代入y＝ax2+2得a+2＝0，解得a＝﹣2．故答案为﹣2．10．（4分）如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为m＞1．【解答】解：∵抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，∴m﹣1＞0，即m＞1．故答案为m＞1．11．（4分）如果抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标为（1，2）．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，∴m＝1，∴解析式y＝（x﹣1）2+2，∴顶点坐标为：（1，2），故答案为：（1，2）．12．（4分）如果点A（﹣5，y1）与点B（﹣2，y2）都在抛物线y＝（x+1）2+1上，那么y1＞y2（填“＞”、“＜”或“＝”）【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，第9页（共18页）而抛物线开口向上，所以当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，所以y1＞y2．故答案为＞．13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA=23，BC＝4，那么AB＝6．【解答】解：∵在Rt△ABC中，sinA=𝐵𝐶𝐴𝐵=23，且BC＝4，∴AB=𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴=423=6，故答案为：6．14．（4分）如图，AB∥CD∥EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC＝6，CE＝9，AF＝10，那么DF的长为6．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴𝐵𝐸𝐶𝐸=𝐴𝐹𝐷𝐹，∴6+99=10𝐷𝐹，∴DF＝6，故答案为：6．15．（4分）如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．【解答】解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，第10页（共18页）∴𝐵𝐺𝐻𝐺=2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴𝐵𝐸𝐶𝐸=𝐵𝐺𝐺𝐻=2，∴BE＝8，故答案为：8．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝2．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∴AD＝CD＝BD，∴∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，∵AE⊥CD，∴∠CAE+∠ACD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠B，∴cot∠CAE＝cotB=𝐵𝐶𝐴𝐶=42=2，故答案为：2．17．（4分）定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡第11页（共18页）尔点，如果PA＝2，那么PC＝165．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠ACB﹣∠PCB＝∠ABC﹣∠PBA，即∠ACP＝∠CBP．在△ACP与△CBP中，{∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐶𝐵𝑃∠𝑃𝐴𝐶=∠𝑃𝐶𝐵，∴△ACP∽△CBP，∴𝑃𝐴𝑃𝐶=𝐴𝐶𝐵𝐶，∵AC＝5，BC＝8，PA＝2，∴PC=2×85=165．故答案为165．18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一直线上，那么EE1的长为6√105．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝4，∴BD=√2AB＝4√2，∵点E为边AB的中点，第12页（共18页）∴AE=12AB＝2，∵∠EAD＝90°，∴DE=√𝐴𝐷2+𝐴𝐸2=2√5，过B作BF⊥DD1于F，∴∠DAE＝∠EFB＝90°，∵∠AED＝∠BFE，∴△ADE∽△FEB，∴𝐸𝐹𝐴𝐸=𝐵𝐸𝐷𝐸，∴𝐸𝐹2=22√5，∴EF=2√5，∴DF＝2√5+2√5=12√5，∵△BED绕着点B旋转至△BD1E1，∴BD1＝BD，∠D1BD＝∠E1BE，BE1＝BE，∴DD1＝2DF=24√5，△D1BD∽△E1BE，∴𝐸𝐸1𝐷𝐷1=𝐵𝐸𝐵𝐷，∴𝐸𝐸124√5=24√2，∴EE1=6√105，故答案为：6√105．三、解答题第13页（共1