2019年上海市浦东新区中考数学一模试卷

第1页（共20页）2019年上海市浦东新区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，那么下列等式正确的是（）A．sinA=817B．cosA=815C．tanA=817D．cotA=8152．（4分）已知线段MN＝4cm，P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，那么线段MP的长度等于（）A．（2√5+2）cmB．（2√5−2）cmC．（√5+1）cmD．（√5−1）cm3．（4分）已知二次函数y＝﹣（x+3）2，那么这个二次函数的图象有（）A．最高点（3，0）B．最高点（﹣3，0）C．最低点（3，0）D．最低点（﹣3，0）4．（4分）如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以是（）A．向左平移2个单位，向上平移4个单位B．向左平移2个单位，向下平移4个单位C．向右平移2个单位，向上平移4个单位D．向右平移2个单位，向下平移4个单位5．（4分）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（）A．𝑚𝑐𝑜𝑡𝛼−𝑐𝑜𝑡𝛽千米B．𝑚𝑐𝑜𝑡𝛽−𝑐𝑜𝑡𝛼千米C．𝑚𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽千米D．𝑚𝑡𝑎𝑛𝛽−𝑡𝑎𝑛𝛼千米6．（4分）在△ABC与△DEF中，下列四个命题是真命题的个数共有（）①如果∠A＝∠D，𝐴𝐵𝐷𝐸=𝐵𝐶𝐸𝐹，那么△ABC与△DEF相似；②如果∠A＝∠D，𝐴𝐵𝐷𝐹=𝐴𝐶𝐷𝐸，那么△ABC与△DEF相似；③如果∠A＝∠D＝90°，𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐷𝐹𝐷𝐸，那么△ABC与△DEF相似；第2页（共20页）④如果∠A＝∠D＝90°，𝐴𝐶𝐷𝐹=𝐵𝐶𝐸𝐹，那么△ABC与△DEF相似；A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．（4分）已知2x＝5y，那么𝑥𝑥+2𝑦=．8．（4分）如果y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，那么k需满足的条件是．9．（4分）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝4，DF＝15，那么线段DE的长等于．10．（4分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，那么△ABC与△DEF相似比为．11．（4分）已知向量𝑎→与单位向量𝑒→的方向相反，|𝑎→|＝4，那么向量𝑎→用单位向量𝑒→表示为．12．（4分）已知某斜面的坡度为1：√3，那么这个斜面的坡角等于度．13．（4分）如果抛物线经过点A（2，5）和点B（﹣4，5），那么这条抛物线的对称轴是直线．14．（4分）已知点A（﹣5，m）、B（﹣3，n）都在二次函数y=12x2−52的图象上，那么m、n的大小关系是：mn．（填“＞”、“＝”或“＜”）15．（4分）如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，那么AF＝．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，我们把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线．已知第3页（共20页）抛物线y＝﹣x2+6x的顶点为M，它的某条同轴抛物线的顶点为N，且点N在点M的下方，MN＝10，那么点N的坐标是．17．（4分）如图，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，小明在点C处时，测得他的影长CD＝3米，他沿BC方向行走到点E处时，CE＝2米，测得他的影长EF＝4米，如果小明的身高为1.6米，那么电线杆AB的高度等于米．18．（4分）将矩形纸片ABCD沿直线AP折叠，使点D落在原矩形ABCD的边BC上的点E处，如果∠AED的余弦值为35，那么𝐴𝐵𝐵𝐶=．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝2x2﹣12x+10的图象与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C，求△ABC的面积．20．（10分）如图，已知点A、B在射线OM上，点C、D在射线ON上，AC∥BD，𝑂𝐴𝐴𝐵=12，𝑂𝐴→=𝑎→，𝑂𝐶→=𝑏→．（1）求向量𝐵𝐷→关于𝑎→、𝑏→的分解式；（2）求作向量2𝑎→−𝑏→．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，M为腰AB上一动点，联结MC、MD，AD＝10，BC＝15，cotB=512．（1）求线段CD的长．（2）设线段BM的长为x，△CDM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．第4页（共20页）22．（10分）“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点A处测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东37°方向航行2海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东23°方向上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.4，√3≈1.7）23．（12分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，联结EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．（1）求证：𝐺𝐹𝐺𝑀=𝐸𝐹𝐸𝑀；（2）当BC2＝2BA⋅BE时，求证：∠EMB＝∠ACD．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：△BOD∽△AOB；（3）如果点P在线段AB上，且∠BCP＝∠DBO，求点P的坐标．第5页（共20页）25．（14分）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点D、E分别在大三角尺的直角边AC、BC上，此时小三角尺的斜边DE恰好经过大三角尺的重心G．已知∠A＝∠CDE＝30°，AB＝12．（1）求小三角尺的直角边CD的长；（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB上时（如图2），求点B、E之间的距离；（3）在小三角尺绕点C旋转的过程中，当直线DE经过点A时，求∠BAE的正弦值．第6页（共20页）2019年上海市浦东新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，那么下列等式正确的是（）A．sinA=817B．cosA=815C．tanA=817D．cotA=815【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，∴由勾股定理可得AB＝17，∴sinA=𝐵𝐶𝐴𝐵=1517，故A选项错误；cosA=𝐴𝐶𝐴𝐵=817，故B选项错误；tanA=𝐵𝐶𝐴𝐶=158，故C选项错误；cotA=𝐴𝐶𝐵𝐶=815，故D选项正确；故选：D．2．（4分）已知线段MN＝4cm，P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，那么线段MP的长度等于（）A．（2√5+2）cmB．（2√5−2）cmC．（√5+1）cmD．（√5−1）cm【解答】解：MP=√5−12MN=√5−12×4＝2√5−2（cm）．故线段MP的长度等于（2√5−2）cm．故选：B．3．（4分）已知二次函数y＝﹣（x+3）2，那么这个二次函数的图象有（）A．最高点（3，0）B．最高点（﹣3，0）C．最低点（3，0）D．最低点（﹣3，0）【解答】解：在二次函数y＝﹣（x+3）2中，a＝﹣1＜0，∴这个二次函数的图象有最高点（﹣3，0），故选：B．4．（4分）如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可第7页（共20页）以是（）A．向左平移2个单位，向上平移4个单位B．向左平移2个单位，向下平移4个单位C．向右平移2个单位，向上平移4个单位D．向右平移2个单位，向下平移4个单位【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，3），抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），∴顶点由（﹣2，3）到（0，1）需要向右平移2个单位再向上平移4个单位．故选：C．5．（4分）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（）A．𝑚𝑐𝑜𝑡𝛼−𝑐𝑜𝑡𝛽千米B．𝑚𝑐𝑜𝑡𝛽−𝑐𝑜𝑡𝛼千米C．𝑚𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽千米D．𝑚𝑡𝑎𝑛𝛽−𝑡𝑎𝑛𝛼千米【解答】解：作PC⊥AB交AB于点C，如右图所示，AC=𝑃𝐶𝑡𝑎𝑛𝛼，BC=𝑃𝐶𝑡𝑎𝑛𝛽，∵m＝AC﹣BC，∴m=𝑃𝐶𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑃𝐶𝑡𝑎𝑛𝛽，∴PC=𝑚1𝑡𝑎𝑛𝛼−1𝑡𝑎𝑛𝛽=𝑚𝑐𝑜𝑡𝛼−𝑐𝑜𝑡𝛽，故选：A．6．（4分）在△ABC与△DEF中，下列四个命题是真命题的个数共有（）①如果∠A＝∠D，𝐴𝐵𝐷𝐸=𝐵𝐶𝐸𝐹，那么△ABC与△DEF相似；第8页（共20页）②如果∠A＝∠D，𝐴𝐵𝐷𝐹=𝐴𝐶𝐷𝐸，那么△ABC与△DEF相似；③如果∠A＝∠D＝90°，𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐷𝐹𝐷𝐸，那么△ABC与△DEF相似；④如果∠A＝∠D＝90°，𝐴𝐶𝐷𝐹=𝐵𝐶𝐸𝐹，那么△ABC与△DEF相似；A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①如果∠A＝∠D，𝐴𝐵𝐷𝐸=𝐴𝐶𝐷𝐹，那么△ABC与△DEF相似；故错误；②如果∠A＝∠D，𝐴𝐵𝐷𝐹=𝐴𝐶𝐷𝐸，那么△ABC与△DEF相似；故正确；③如果∠A＝∠D＝90°，𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐷𝐹𝐷𝐸，那么△ABC与△DEF相似；故正确；④如果∠A＝∠D＝90°，𝐴𝐶𝐷𝐹=𝐵𝐶𝐸𝐹，那么△ABC与△DEF相似；故正确；故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．（4分）已知2x＝5y，那么𝑥𝑥+2𝑦=59．【解答】解：∵2x＝5y，∴设x＝5a，则y＝2a，那么𝑥𝑥+2𝑦=5𝑎5𝑎+4𝑎=59．故答案为：59．8．（4分）如果y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，那么k需满足的条件是k≠3．【解答】解：∵y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，∴k﹣3≠0，解得：k≠3，∴k需满足的条件是：k≠3，故答案为：k≠3．9．（4分）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝4，DF＝15，那么线段DE的长等于9．第9页（共20页）【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹，即64=𝐷𝐸𝐸𝐹，𝐷𝐸𝐷𝐸+𝐸𝐹=66+4，即𝐷𝐸15=35，∴DE＝9．故答案为9．10．（4分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，那么△ABC与△DEF相似比为1：2．【解答】解：△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，∵△ABC∽△DEF，∴△ABC与△DEF相似比为1：2，故答案为：1：2．11．（4分）已知向量𝑎→与单位向量𝑒→的方向相反，|𝑎→|＝4，那么向量𝑎→用单位向量𝑒→表示为﹣4𝑒→．【解答】解：∵向量𝑎→与单位向量𝑒→的方向相反，|𝑎→|＝4，∴𝑎→=−4𝑒→．故答案是：﹣4𝑒→．12．（4分）已知某斜面的坡度为1：√3，那么这个斜面的坡角等于30度．【解答】解：设该斜面坡角为α，∵某斜面的坡度为1：√3，∴tanα=1√3=√