集合概念和表示方法讲义

集合一．集合的概念：集合没有确切定义，是一个基本概念。对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。符号表示为{}，表示的意思为全体。这些对象我们称之为元素。集合通常用大括号{}或大写的拉丁字母A,B,C…表示，集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a、b、c、p、q……例如A={1,3,a,c,a+b}注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.（2）集合是一个“整体.（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。（1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。【典例分析】：1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）A所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题C所有的数学容易题D所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）（1）不超过的正整数；（2）高一数学课本中所有的难题；（3）中国的大城市（4）平方后等于自身的数；（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.A.（1）（2）（3）B.（3）（4）（5）C.（1）（4）（5）D.（1）（2）（4）二．元素的特性a、确定性（有一个确定的衡量标准）b、互异性（集合里的元素都不一样）c、无序性（没有顺序）（确定性）例题1：下列各组对象能否构成一个集合（1）著名的数学家（2）某校2006年在校的所有高个子同学（3）不超过10的非负数（4）方程240x在实数范围内的解（5）2的近似值的全体例题2：下列各对象不能够成集合的是（）A某校大于50岁的教师B某校30岁的教师C某校的年轻教师D某校的女教师（互异性）例题3：已知集合S中的元素是a,b,c,其中a,b,c为△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4：若-3{a-3,2a-1,a2+4},求实数a的值，并求此时的实数集。（集合三要素）例题5:a、b∈R,集合{1，a+b，a}={0，ab，b}，则b-a=三．几种集合的命名自然数集：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R。（应用，三角函数，数列）四．集合的分类有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用∅表示；（区分∅、{∅}、{0}）解题的陷阱，一定要记得空集例1.下面集合是有限集还是无限集？（1）不超过10的非负偶数的集合；（2）大于10的所有自然数组成的集合；（3）方程x2-4=0的解集（4）在平面上到两定点A、B距离相等的点的集合五．元素与集合之间的关系与运算集合和元素之间的关系是属于（∈）和不属于（∉）【典例分析】：1用符号∈或填空：（1）0__N*；2__Z；(-1)0__N*；（2）23______11xx；32__0xx；2+5__{x|x≤2+3}；（3）3____2{x|x=n+1,nN*}；5____2{x|x=n+1,nN*}（4）(-1,1)_____{y|y=x2}；（-1,1）____{（x，y）|y=x2}2非空集合M中的元素只能是1，2，3，4，5中的某些数，若aM,则（6-a）M,试求符合条件的M的个数。3设A={a},则下列各式中正确的是（）A.0AB.aAC.aAD.a=A4方程组9,1yxyx的解集是（）A.(5,4)B.{5,-4}C.{(-5,4)}D.{(5,-4)}六．集合的表示方法1、列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法；注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。说明：1、书写时，元素与元素之间用逗号分开；2、一般不必考虑元素之间的顺序；3、集合中的元素可以为数，点，代数式、文字等；4、列举法可表示有限元素集，也可以表示无限元素集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。5、对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,......例1、用列举法表示下列集合：：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；（3）我国现有的直辖市。.例1解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法.例如：A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={0，1}.变式练习用列举法表示下列集合：⑴x2－4的一次因式组成的集合.⑵{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.⑶方程x2＋6x＋9＝0的解集.⑷{20以内的质数}.⑸{（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}.⑹{大于0小于3的整数}.⑺{x∈R｜x2＋5x－14＝0}.⑻{（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.⑼{（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.2、描述法：有以下两种描述方式1）代号描述：例方程x²-3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为{x|x²-3x+2=0}。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符号的条件。（代号不一样，所表示含义也不一样）】2）文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。例{大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就是说要判断元素到底是什么。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：()xApx其中x代表元素，A是集合，P是集合A的一个特征性质。.如：{x|x-32}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；说明:①描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2{(,)|1}xyyx与2{|1}yyx不同.②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{|1}xx，{|3,}xxkkZ.③集合的{}已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.例2用描述法表示下列集合：⑴方程2x＋y＝5的解集.⑵小于10的所有非负整数的集合.⑶方程ax＋by＝0（ab≠0）的解.⑷大于3的全体偶数组成的集合.⑸平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.⑹方程组x+y＝1x－y＝1的解的集合.⑺{1，3，5，7，…}.说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。3、区间表示法：数轴上得一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思。例（2,3），[2,3],(2,3]，[2,3）……4、图像表示法：数轴、坐标系、常与区间法表示同时使用维恩图法：即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：课堂训练一、选择题1.下列元素与集合的关系中正确的是()A.N21B.2{xR|x≥3}C.|-3|N*D.-3.2Q2.给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合；(3)1,23,46,21,0.5这些数字组成的集合有5个元素；(4)集合{(x,y)|xy≤0,x,yR}是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.33.下列集合中表示同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={(2,3)}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={1,2},N={2,1}4.已知xN,则方程220xx的解集为()A.{x|x=-2}B.{x|x=1或x=-2}C.{x|x=1}D.5.已知集合M={mN|8-mN},则集合M中元素个数是()A.6B.7C.8D.9二、填空题6.用符号“”或“”填空：0_______N,5______N,16______N.A表示任意一个集合A3,9,27表示{3，9，27}7.用列举法表示A={y|y=x2+1,-2≤x≤2,xZ}为_______________.8.用描述法表示集合“方程x2-2x+3=0的解集”为_____________.9.集合{x|x3}与集合{t|t3}是否表示同一集合？________10.已知集合P={x|2xa,xN},已知集合P中恰有3个元素,则整数a=_________.（附加题）下列对象能否组成集合:(1)数组1、3、5、7;(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;(3)满足3x-2x+3的全体实数;(4)所有直角三角形;(5)美国NBA的著名篮球明星;(6)所有绝对值等于6的数;(7)所有绝对值小于3的整数;(8)中国男子足球队中技术很差的队员;(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.三、解答题11.已知集合A={0,1,2},集合B={x|x=ab,aA,bA}.(1)用列举法写出集合B；(2)判断集合B的元素和集合A的关系.12.已知集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合,求实数a、b的值.13.(探究题)下面三个集合：①2|2xyx,②2|2yyx,③2(,)|2xyyx(1)它们是不是相同的集合？(2)试用文字语言叙述各集合的含义