分组分配问题(上课用)

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一、提出分组与分配问题,澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象,称为分配问题,分定向分配和不定向分配两种问题;将n个不同元素按照某些条件分成k组,称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的;而后者即使2组元素个数相同,但因对象不同,仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。1把abcd分成平均两组abcdacbdadbc有_____多少种分法?C42C22A223cdbdbcadacab这两个在分组时只能算一个记住:平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要除以m!,其中m表示组数。引旧育新1、平均分组问题:n个不同元素平均分成m组,每组k个元素,则分组的方法:例1.有两本不同的书,平均分成两组有几种不同分法?有三本不同的书,平均分成三组有几种不同分法?有四本不同的书,平均分成两组有几种不同分法?有六本不同的书,平均分成两组有几种不同分法?结论:n个不同元素平均分成m组,每组k个元素,则分组的方法为:2kkkknnknkkmmCCCCA平均分组二、基本的分组问题•例1六本不同的书,分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?•(1)每组两本.•(2)一组一本,一组二本,一组三本.•(3)一组四本,另外两组各一本.22264233115()CCCA123653(2)60CCC41162122315()CCCA•通过以上三个小题的分析,我们可以得出分组问题的一般方法:•结论1:一般地,n个不同的元素分成p组,各组内元素数目分别为m,m,…,m,其中k组内元素数目相等,那么分组方法数是321112ppmmmmnnmnmmmkkCCCCA三、基本的分配的问题(一)定向分配问题例2六本不同的书,分给甲、乙、丙三人求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?(1)甲两本、乙两本、丙两本.(2)甲一本、乙两本、丙三本.(3)甲四本、乙一本、丙一本.分析:由于分配给三人,每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题,由分布计数原理不难解出:222642190()CCC123653(2)60CCC411621330()CCC(二)不定向分配问题例3六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?(1)每人两本.(2)一人一本、一人两本、一人三本.(3)一人四本、一人一本、一人一本.分析:此组题属于分配中的不定向分配问题,是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人,同一本书给不同的人是不同的分法,所以是排列问题。实际上可看作“分为三组,再将这三组分给甲、乙、丙三人”,因此只要将分组方法数再乘以,33A2223642333190()CCCAA13235336360(2)ACCC4113621322390()CCCAA结论2.一般地,如果把不同的元素分配给几个不同对象,并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制,那么实际上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。•通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则:先分组后排列。例4六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种分法?分析:六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”,即书要分完,人不能空手。因此,考虑先分组,后排列。先分组,六本书怎么分为三组呢?有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本,另一组四本。所以根据加法原理,分组法是再考虑排列,即再乘以。所以一共有540种不同的分法。222411642621123653323290CCCCCCCCCAA33A四、分配问题的变形问题例5四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,恰有一个空盒的放法有多少种?11243222CCCA1124323422144CCCAA分析:恰有一个空盒,则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2。实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组,两组各1个,另一组2个,分组方法有然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题,即共有3有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学,按下条件,各有多少种不同的分法?(1)每人各得两本;(2)甲得一本,乙得两本,丙得三本;(3)一人一本,一人两本,一人三本;(4)甲得四本,乙得一本,丙得一本;(5)一人四本,另两人各一本·(3)(4)(5)C52C33C61A33C52C33C61C21C11C64A31C21C11C64(2)C42C22C62(1)二.元素相同问题隔板策略例3.有10个运动员名额,再分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为11mnC练习题10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法?49C1应用:33A应用:

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