不等式恒成立、存在性问题的解题方法

11.0)(xf解集为空集00且a；2.0)(xf解集为空集00且a不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式恒成立问题解法1、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立例1：若不等式)1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求x的范围。解析：我们可以用变换主元的方法，将m看作主变元，即将原不等式化为：0)12()1(2xxm，；令)12()1()(2xxmmf，则22m时，0)(mf恒成立，所以只需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx所以x的范围是)231,271(x。2、利用一元二次函数判别式对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a例2：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为20恒成立，满足题意；（2）01m时，只需0)1(8)1(012mmm，所以，)9,1[m。23、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag2）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag例3已知不等式022axx在),1[x时恒成立，求a的取值范围。解：022axx在),1[x时恒成立，只要xxa22在),1[x时恒成立。而易求得二次函数xxxh2)(2在),1[上的最大值为3，所以3a。例4．已知函数]4,0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：将问题转化为xxxa24对]4,0(x恒成立。令xxxxg24)(，则min)(xga由144)(2xxxxxg可知)(xg在]4,0(上为减函数，故0)4()(mingxg∴0a即a的取值范围为)0,(。注：分离参数后，思路清晰，方向明确，从而能使问题得到顺利解决。4、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例5．对任意]1,1[a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化3为一次不等式044)2(2xxax在]1,1[a上恒成立的问题。解：令44)2()(2xxaxaf，则原问题转化为0)(af恒成立（]1,1[a）。当2x时，可得0)(af，不合题意。当2x时，应有0)1(0)1(ff解之得31xx或。故x的取值范围为),3()1,(。练习：1．已知aaxxxf3)(2，若0)(],2,2[xfx恒成立，求a的取值范围.２．对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30(1)当|x|≤2，上式恒成立，求实数m的取值范围；(2)当|m|≤2，上式恒成立，求实数x的取值范围.３。若不等式ax2-2x+20对x∈(1,4)恒成立，求实数a的取值范围。二、存在性问题存在x∈D,使得函数f(x)af(x)maxa存在x∈D,使得函数f(x)≤af(x)min≤a4例6：：已知函数f(x)=x2-ax+a,若存在x∈[-1,2]使得f(x)0,试求实数a的取值范围。解：法一：f(1)=10，所以对a∈R,均存在x∈[-1,2]使得f(x)0.法二：原题同解于：当x∈[-1,2]时，f(x)max＞０,即：f(-1)0或f(2)0代入可得:1+2a0或４－a0得a-0.5或a4∴a∈R练习：1。已知322)(2axxxf，若存在,2,1x使得0fx成立，求a的取值范围.2.存在x∈R，使得不等式22xxa成立,则a的取值范围是.三、有解问题不等式f(x)a,x∈D有解（解集非空）f(x)maxa不等式f(x)a,x∈D解集为空集f(x)min≧a方程f(x)=a,x∈D有解（解集非空）a∈{f(x)|x∈D}即)(xfDx时的值域。例7：方程x2-２x+２－a＝０在区间（０，３）内有解，则实数a的取值范围是。解：原题同解于：a＝x2-２x+２，x∈（０，３）的值域。a＝（x－１）2+１∴a∈[f(1)，f(3)）即a∈[１，５）练习：1。22xxa解集不空,则a的取值范围是.2.不等式22xxa解集为空集,则a的取值范围是.