圆锥曲线中的定点定值问题

第四讲圆锥曲线中的定点定值问题一、直线恒过定点问题例1.已知动点E在直线:2ly上，过点E分别作曲线2:4Cxy的切线,EAEB，切点为A、B,求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设),2,(aE)4,(),4,(222211xxBxxA，xyxy214'2,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点ExxxxyA),(21421121xaxx整理得：082121axx同理可得：222280xax8,2082,2121221xxaxxaxxxx的两根是方程)24,(2aaAB中点为可得，又2212121212124442ABxxyyxxakxxxx2(2)()22aaAByxa直线的方程为，2()2ayxAB即过定点0,2.例1改为：已知A、B是抛物线22(0)ypxp上两点，且OAOB，证明：直线AB过定点(2,0)p．例2、已知点00(,)Pxy是椭圆22:12xEy上任意一点，直线l的方程为0012xxyy，直线0l过P点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线0l的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。解：直线0l的方程为0000()2()xyyyxx，即000020yxxyxy设)0,1(M关于直线0l的对称点N的坐标为(,)Nmn则0000001212022xnmyxnmyxy，解得320002043200002002344424482(4)xxxmxxxxxnyx直线PN的斜率为4320000032000042882(34)nyxxxxkmxyxx从而直线PN的方程为：432000000320004288()2(34)xxxxyyxxyxx即3200043200002(34)14288yxxxyxxxx从而直线PN恒过定点(1,0)G二、恒为定值问题例3、已知椭圆两焦点1F、2F在y轴上，短轴长为22，离心率为22，P是椭圆在第一象限弧上一点，且121PFPF，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；解：（1）设椭圆方程为22221yxab，由题意可得2,2,22abc，所以椭圆的方程为22142yx则12(0,2),(0,2)FF，设0000(,)(0,0)Pxyxy则100200(,2),(,2),PFxyPFxy221200(2)1PFPFxy点00(,)Pxy在曲线上，则22001.24xy220042yx从而22004(2)12yy，得02y，则点P的坐标为(1,2)。（2）由（1）知1//PFx轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为(0)kk，则PB的直线方程为：2(1)ykx由222(1)124ykxxy得222(2)2(2)(2)40kxkkxk设(,),BBBxy则2222(2)222122Bkkkkxkk同理可得222222Akkxk，则2422ABkxxk28(1)(1)2ABABkyykxkxk所以直线AB的斜率2ABABAByykxx为定值。例4过抛物线22(0)ypxp的焦点F作一直线叫抛物线于A、B两点，求11||||AFBF的值．例5、已知动直线(1)ykx与椭圆22:1553xyC相交于A、B两点,已知点7(,0)3M，求证：MAMB为定值.解:将(1)ykx代入221553xy中得2222(13)6350kxkxk4222364(31)(35)48200kkkk，2122631kxxk，21223531kxxk所以112212127777(,)(,)()()3333MAMBxyxyxxyy2121277()()(1)(1)33xxkxx2221212749(1)()()39kxxkxxk2222222357649(1)()()313319kkkkkkk4222316549319kkkk49。课后作业：1.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:13xCy.如图所示，斜率为(0)kk＞且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x于点(3,)Dm.（Ⅰ）求22mk的最小值；（Ⅱ）若2OGOD∙OE，求证：直线l过定点；解：（Ⅰ）由题意:设直线:(0)lykxnn,由2213ykxnxy消y得:222(13)6330kxknxn,2222364(13)3(1)knkn×2212(31)0kn设A11(,)xy、B22(,)xy,AB的中点E00(,)xy,则由韦达定理得:12xx=2613knk,即02313knxk,002313knykxnknk213nk,所以中点E的坐标为23(,13knk2)13nk,因为O、E、D三点在同一直线上，所以OEODkK，即133mk，解得1mk，所以22mk=2212kk,当且仅当1k时取等号,即22mk的最小值为2.（Ⅱ）证明:由题意知:n0,因为直线OD的方程为3myx,所以由22313myxxy得交点G的纵坐标为223Gmym,又因为213Enyk,Dym,且2OGOD∙OE，所以222313mnmmk,又由（Ⅰ）知:1mk,所以解得kn,所以直线l的方程为:lykxk,即有:(1)lykx,令1x得,y=0,与实数k无关,所以直线l过定点(-1,0).2.已知点N为曲线24(0)yxx上的一点，若(4,0)A，是否存在垂直x轴的直线l被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：设AN的中点为B，垂直于x轴的直线方程为xa，以AN为直径的圆交l于,CD两点，CD的中点为H．2211(4)22CBANxy，412422xBHaxa22222211[(4)](24)44CHCBBHxyxa221[(412)416](3)44axaaaxaa所以，令3a，则对任意满足条件的x，都有29123CH（与x无关），即23CD为定值．