直角三角形的边角关系全章总结复习

2017—2018学年寒假辅导第1讲直角萨娇新的边角关系一、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦:sinA＝∠A的对边斜边＝ac余弦:cosA＝∠A的邻边斜边＝bc正切:tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232cosA322212tanA3313知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,∠A=30°，则c=,b=.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=ac，cosA＝sinB=bc，tanA＝ab.(4)相等的角①商的关系:tanA=;②平方关系:sin2A+cos2A=1.(5)互余的两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB,cosA=sinB.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．二、专题讲座专题一：锐角三角函数的概念注意：1.sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2.取值范围sinA；cosA；tanA例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．①斜边)(sinA＝______，斜边)(sinB＝______；②斜边)(cosA＝______，斜边)(cosB＝______；③的邻边AA)(tan＝______，)(tan的对边BB＝______．例2.锐角三角函数求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sinA＝_____，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．类型一：直角三角形求值例4．已知Rt△ABC中，,12,43tan,90BCAC求AC、AB和cosB．例5.已知A是锐角，178sinA，求Acos，Atan的值类型二.利用角度转化求值：例6．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．例7.如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sin．ADECBF第18题图例7图例8图例9图例13图例8.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A，则这个菱形的面积=cm2．例9.如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB，10BC，AB=8,则tanEFC∠的值为()Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45类型三.化斜三角形为直角三角形例10.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．例11．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，31sinA(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tanB．例12．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．类型四：利用网格构造直角三角形例13如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练：1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，则tanA的值为（）A．55B．255C．12D．22．在△ABC中，∠C=90°，sinA=53，那么tanA的值等于（）A．35B.45C.34D.433.如图，在等腰直角三角形ABC中，90C，6AC，D为AC上一点，若1tan5DBA，则AD的长为()A．2B．2C．1D．224.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316；求∠B的度数及边BC、AB的长.DABC5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）6．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．7.在△ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，则△ABC的面积是（）A.23cm2B.43cm2C.63cm2D.12cm28．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.9．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到''BAC，则'tanB的值为（）A.41B.31C.21D.110．正方形网格中，AOB∠如图放置，则tanAOB∠的值是（）A．55B.255C.12D.2CBAABO图2专题二：特殊角的三角函数值当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（1）60tan45sin230cos2（2）30cos245sin60tan2（3）3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°(4)030tan2345sin60cos221(5)tan45sin301cos60；例2．求适合下列条件的锐角．(1)21cos(2)33tan(3)222sin(4)33)16cos(6（5）已知为锐角，且3)30tan(0，求tan的值（）在ABC中，若0)22(sin21cos2BA，BA，都是锐角，求C的度数例3.三角函数的增减性1．已知∠A为锐角，且sinA21，那么∠A的取值范围是（）A.0°∠A30°B.30°∠A＜60°C.60°∠A90°D.30°∠A90°2.已知∠A为锐角，且030sincosA，则（）A.0°∠A60°B.30°∠A60°C.60°∠A90°D.30°∠A90°锐角30°45°60°sincostan例4.（三角函数在几何中的应用）已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，1312sinA求此菱形的周长．对应练习：1.计算：10123tan45(21.41)32.计算：01201314.330sin21）（）（3.计算：()2012322cos602-骣琪-+----琪桫°.4计算：(2014－5)0－(cos60°)-2＋38－3tan30°；5.计算：6.计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣4cos30°+（π﹣3.14）0．7.已知α是锐角，且sin(α+15°)=32．计算10184cos(3.14)tan3的值．8．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，3BCAC，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．9.已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，31tanB，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，53sinB，点D在BC边上，DC=AC=6，求tan∠BAD的值．11.（本小题5分）如图，△ABC中，∠A=30°，3tan2B，43AC．求AB的长.DCBAACB专题三：解直角三角形的应用例1．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）例1图例2图A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100mB．1003mC．150mD．503m例3.“兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白搭山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥”之美誉。它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁，桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥。【来源：小芸和小刚分别在桥面上的A，B处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离20ABm=，小芸在A处测得36CAB=∠°，小刚在B处测得43CBA=∠°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离。(结果精确到0.1m)(参考数据：cos360.81°≈，tan360.73°≈，sin430.68°≈，cos430.73°≈，tan430.93°≈)21*cnjy*com例4.如图，一垂直于地面的灯柱，AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢缆ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢缆ED的长度约为多少米？（结果精确到1米。参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）例5．如图，皋兰山某处有一座信号塔AB，山坡BC的坡度为1：，现为了测量塔高AB，测量人员选择山坡C处为一测量点，测得∠DCA=45°，然后他顺山坡向上行走100米到达E处，再测得∠FEA=60°．（1）求出山坡BC的坡角∠BCD的大小；（2）求塔顶A到CD的铅直高度AD．（结果保留整数：）ACB对应练习：1．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离m23DE，求点B到地面的垂直距离BC．2.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．3.如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.4．（如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点