九年级数学图形的相似(带答案)

..第3章图形的相似【经典例题】1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．..A．(2，0)B．(23，23)C．(2，2)D．(2，2)【解析】由已知得，E点的坐标就是点A坐标的2倍．【答案】C【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似．2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F,若EC=2BE,则FDBF的值是（）A.21B.31C.41D.51解析：如图，由菱形ABCD得AD∥BE,，所以△BEF∽△ADF,又由EC=2BE,得AD=BC=3BE,故FDBF=ADBE=31.解答：选B．点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC△与DEF△相似且面积比为4∶25，则ABC△与DEF△的相似比为．【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】ABC△与DEF△的相似比为254=52.【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形：（用相似符号连接）．【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE∽△CDF。由于∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF∽△ACE。解：（1）在△BDE和△CDF中∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE∽△CDF．（2）在△ABF和△ACE中，∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF∽△ACE．【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACEABCDFE（第6题）yxAOCBDEF..【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA，AAS、ASA、SAS等．5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD=1，BC=3，△AOD的面积为3，则△BOC的面积为___________．【解析】由题意知AD∥BC，所以∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，所以△OAD∽△OCB．又AD=1，BC=3，所以△OAD与△OCB的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD的面积为3，所以△BOC的面积为27．【答案】27．【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键．6.（2014贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC中，EF∥BC，=，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9B．10C．12D．13解析：求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出=，把S四边形BCFE=8代入求出即可．解：∵=，∴==，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴==，∴9S△AEF=S△ABC，∵S四边形BCFE=8，∴9（S△ABC﹣8）=S△ABC，解得：S△ABC=9．故选A．答案：A点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．7.（2014南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD中，AD=10厘米，CD=6厘米，E为AD上一点，且BE=BC,CE=CD，则DE=厘米.DCBAE解析：△BCE与△CDE均为等腰三角形，且两个底角∠DEC=∠BCE，∴△BCE∽△CDE，∴CDBC=DECE,..∴610=DE6,∴DE=3.6厘米.答案：3.6.点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.8.(2014山东日照，21，9分)如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.(1)求证CG=BH;(2)FC2=BF·GF;(3)22ABFC=GBGF.解析：(1)可证△ABH≌△BCG；(2)证△CFG∽△BFC可得；(3)先证△BCG∽△BFC得BC2=BF·BG,结合AB=BC可得.证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE,CG⊥BF,∴CG⊥BF.∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90o,∠CBG+∠BCG=90o,∠BAH+∠ABH=90o,∴∠BAH=∠CBG,∠ABH=∠BCG,AB=BC,∴△ABH≌△BCG,∴CG=BH;(2)∵∠BFC=∠CFG,∠BCF=∠CGF=90o,∴△CFG∽△BFC,∴FCGFBFFC,即FC2=BF·GF;(3)由（2）可知，BC2=BG·BF,∵AB=BC,∴AB2=BG·BF,∴22BCFC=BFBGBFFG=BGFGBACDHEFG..即22ABFC=GBGF点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.9.(2014海南省，12，3分）12、如图3，在△ABC中，∠ACB=090，CD⊥AB，于点D，则图中相似三角形共有（）CDBAA、1对B、2对C、3对D、4对【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：△BDC～△BCA～△CDA【答案】C．【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。难度中等。10．（2014四川内江，11，3分）如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=34，则△ABC的面积是（）A．83B．15C．93D．123【思路分析】∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∵∠ADE=∠B=60°，∴∠EDC=∠BAD．又∵∠C=∠B=60°，∴△ABD∽△DEC,∴EC:BD=DC:AB=1:3,∴AB=BC=3DC,∴BD=2DC，∴DC=2，∴BC=6，∴△ABC的面积是93．【答案】C．【点评】图形中不存在全等形、不存在直角，可通过相似列比例式求解．11.（山东省威，3,3分）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF:CF=().A.1:2B.1:3C.2:3D.2:5【解题思路】利用△AEF与△CBF相似，将AF:CF转化成AE:BC的比值.【答案】A.【点评】本题考查到了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，求两线段的比值一般情况都利用相似来进行转化.难度较小.12．（2014广东省，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的21，得到的图形是（A）EDCBAA．B．D．C．题3图FEDCBA..【解题思路】图形缩小，就是“大小变化而形状不变”，可判断选A符合要求.【答案】A【点评】本题考查图形的变换规律，解决关键要抓住图形是“大小变化而形状不变”这一本质，即图形相似.难度较小.13．（2014山东潍坊，3，3分）如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4。其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解题思路】因为DE是三角形的中位线，所以DE=12BC=1，DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以S△ADE：S△ABC=2()DEAB=21()2=14．【答案】D．【点拨】本题考查了三角形的中位线和相似三角形的性质和判定．三角形的中位线是指连接三角形任意两边中点的线段，它平行于第三边且等于第三边的一半．所构成的三角形与原三角形相似．相似三角形的面积比等于相似比的平方．难度中等．14.（2014年广西玉林市，10，3）如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=23，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（）分析：延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．解：∵在正方形ABCD中，AC=23∴BC=AB=3，延长A′B′交BC于点E，∵点A′的坐标为（1，2），郑颖杰..∴OE=1，EC=A′E=3-1=2，∴正方形A′B′C′D′的边长为1，∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是31．故选B．点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．15.（2014陕西18，6分）如图，在ABCD中，ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．（1）求证：ABAF；（2）当35ABBC，时，求AEAC的值．【解析】（1）由等角对等边来进行证明；（2）由△AEF∽△CEB先求出AEEC，再求AEAC.【答案】解：（1）如图，在ABCD中，//ADBC，∴23．∵BF是ABC的平分线，∴12．∴13．∴ABAF．（2）23AEFCEB，，∴△AEF∽△CEB，∴35AEAFECBC，∴38AEAC．【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、相似三角形的性质等.难度中等.16.已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2∵=3，∴=4又∵BC=2DQ，∴=2..在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，∴△ADQ∽△QCP．17.已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．证明：在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线，∴DE=AB，即=．同理=．∵EF为△ABC的中位线，∴EF=BC，即=．∴==．∴△DFE∽△ABC．总结升华：本题证明方法较多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的两边成比例，即=，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证出△DEF∽△ABC．18．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.解：设另两边长是xcm，ycm，且xy.(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，..从而x=cm，y=cm.(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.19．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积.解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm