1987-2008年考研数学真题解析及复习思路(数学三)

１９８７年全国硕士研究生招生考试试题【编者注】１９８７年到１９９６年的数学试卷Ⅳ、Ⅴ均为现在的数学三．（试卷Ⅳ）一、判断题（本题共５小题，每小题２分，满分１０分）（１）ｌｉｍｘ→０ｅ１ｘ＝∞．（２）∫π－πｘ４ｓｉｎｘｄｘ＝０．（３）若级数􀰐∞ｎ＝１ａｎ与􀰐∞ｎ＝１ｂｎ均发散，则级数􀰐∞ｎ＝１（ａｎ＋ｂｎ）必发散．（４）假设Ｄ是矩阵Ａ的ｒ阶子式，且Ｄ≠０，但含Ｄ的一切ｒ＋１阶子式都等于０，那么矩阵Ａ的一切ｒ＋１阶子式都等于０．（５）连续型随机变量取任何给定实数值的概率均为零．二、选择题（本大题共５小题，每小题２分，满分１０分）（１）下列函数在其定义域内连续的是（　　）（Ａ）ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｓｉｎｘ．　　　　　　　　（Ｂ）ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ，ｘ≤０，ｃｏｓｘ，ｘ＞０．{（Ｃ）ｆ（ｘ）＝ｘ＋１，ｘ＜０，０，　ｘ＝０，ｘ－１，ｘ＞０．ìîíïïïï（Ｄ）ｆ（ｘ）＝１ｘ，ｘ≠０，０，　　ｘ＝０．ìîíïïïï（２）若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导且ａ＜ｘ１＜ｘ２＜ｂ，则至少存在一点ξ，使得（　　）（Ａ）ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ａ）　（ａ＜ξ＜ｂ）．（Ｂ）ｆ（ｂ）－ｆ（ｘ１）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ｘ１）　（ｘ１＜ξ＜ｂ）．（Ｃ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＝ｆ′（ξ）（ｘ２－ｘ１）　（ｘ１＜ξ＜ｘ２）．（Ｄ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｘ２－ａ）　（ａ＜ξ＜ｘ２）．（３）下列广义积分收敛的是（　　）（Ａ）∫＋∞ｅｌｎｘｘｄｘ．　　　（Ｂ）∫＋∞ｅ１ｘｌｎｘｄｘ．　　　（Ｃ）∫＋∞ｅ１ｘ（ｌｎｘ）２ｄｘ．　　　（Ｄ）∫＋∞ｅ１ｘｌｎｘｄｘ．（４）设ｎ阶方阵Ａ的秩ｒ（Ａ）＝ｒ＜ｎ，那么在Ａ的ｎ个行向量中（　　）（Ａ）必有ｒ个行向量线性无关．（Ｂ）任意ｒ个行向量都线性无关．（Ｃ）任意ｒ个行向量都构成极大线性无关向量组．（Ｄ）任意一个行向量都可以由其他ｒ个行向量线性表示．（５）若两事件Ａ和Ｂ同时出现的概率Ｐ（ＡＢ）＝０，则（　　）（Ａ）Ａ和Ｂ不相容（互斥）．（Ｂ）ＡＢ是不可能事件．（Ｃ）ＡＢ未必是不可能事件．（Ｄ）Ｐ（Ａ）＝０或Ｐ（Ｂ）＝０．１１９８７年真题三、计算下列各题（每小题４分，满分１６分）（１）求极限ｌｉｍｘ→０（１＋ｘｅｘ）１ｘ．（２）设ｙ＝ｌｎ１＋ｘ２－１１＋ｘ２＋１，求ｙ′．（３）设ｚ＝ａｒｃｔａｎｘ＋ｙｘ－ｙ，求ｄｚ．（４）求不定积分∫ｅ２ｘ－１ｄｘ．四、（本题满分１０分）考虑函数ｙ＝ｓｉｎｘ，０≤ｘ≤π２．问：（１）ｔ取何值时，右图中阴影部分的面积Ｓ１与Ｓ２之和Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２最小？（２）ｔ取何值时，面积Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２最大？五、（本题满分６分）将函数ｆ（ｘ）＝１ｘ２－３ｘ＋２展开成ｘ的幂级数，并指出收敛区间．六、（本题满分５分）计算二重积分∬Ｄｅｘ２ｄｘｄｙ，其中Ｄ是第一象限中由直线ｙ＝ｘ和曲线ｙ＝ｘ３围成的封闭区域．七、（本题满分６分）已知某商品的需求量ｘ对价格ｐ的弹性η＝－３ｐ３，而市场对该商品的最大需求量为１（万件）．求需求函数．八、（本题满分８分）解线性方程组２ｘ１－ｘ２＋４ｘ３－３ｘ４＝－４，ｘ１＋ｘ３－ｘ４＝－３，３ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝１，７ｘ１＋７ｘ３－３ｘ４＝３．ìîíïïïïïï九、（本题满分７分）设矩阵Ａ和Ｂ满足ＡＢ＝Ａ＋２Ｂ，求矩阵Ｂ，其中Ａ＝４２３１１０－１２３æèçççöø÷÷÷．２历年考研数学真题解析及复习思路（数学三）十、（本题满分６分）求矩阵Ａ＝－３－１２０－１４－１０１æèçççöø÷÷÷的实特征值与对应的特征向量．十一、（本题共２小题，每小题４分，满分８分）（１）已知随机变量Ｘ的概率分布为Ｐ｛Ｘ＝１｝＝０．２，Ｐ｛Ｘ＝２｝＝０．３，Ｐ｛Ｘ＝３｝＝０．５，试写出Ｘ的分布函数Ｆ（ｘ）．（２）已知随机变量Ｙ的概率密度为ｆ（ｙ）＝ｙａ２ｅ－ｙ２２ａ２，ｙ＞０，０，　　ｙ≤０，ìîíïïïï求随机变量Ｚ＝１Ｙ的数学期望Ｅ（Ｚ）．十二、（本题满分８分）假设有两箱同种零件：第一箱内装５０件，其中１０件一等品；第二箱内装３０件，其中１８件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件（取出的零件均不放回）．试求：（１）先取出的零件是一等品的概率ｐ；（２）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率ｑ．（试卷Ⅴ）一、判断题（本题共５小题，每小题２分，满分１０分）（１）【同试卷Ⅳ　第一、（１）题】（２）【同试卷Ⅳ　第一、（２）题】（３）若函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上严格单增，则对区间（ａ，ｂ）内任何一点ｘ有ｆ′（ｘ）＞０．（４）若Ａ为ｎ阶方阵，ｋ为常数，且Ａ和ｋＡ为Ａ和ｋＡ的行列式，则ｋＡ＝ｋＡ．（５）【同试卷Ⅳ　第一、（５）题】二、选择题（本题共５小题，每小题２分，满分１０分）（１）【同试卷Ⅳ　第二、（１）题】（２）【同试卷Ⅳ　第二、（２）题】（３）【同试卷Ⅳ　第二、（３）题】（４）【同试卷Ⅳ　第二、（４）题】（５）对于任意两个事件Ａ和Ｂ，有Ｐ（Ａ－Ｂ）＝（　　）（Ａ）Ｐ（Ａ）－Ｐ（Ｂ）．（Ｂ）Ｐ（Ａ）－Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（ＡＢ）．（Ｃ）Ｐ（Ａ）－Ｐ（ＡＢ）．（Ｄ）Ｐ（Ａ）－Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）．３１９８７年真题三、计算下列各题（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）求极限ｌｉｍｘ→＋∞ｌｎ１＋１ｘæèçöø÷ａｒｃｃｏｔｘ．（２）【同试卷Ⅳ　第三、（２）题】（３）【同试卷Ⅳ　第三、（３）题】（４）计算定积分∫１１２ｅ２ｘ－１ｄｘ．（５）求不定积分∫ｘｄｘｘ４＋２ｘ２＋５．四、（本题满分１０分）考虑函数ｙ＝ｘ２，０≤ｘ≤１．问：（１）ｔ取何值时，右图中阴影部分的面积Ｓ１与Ｓ２之和Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２最小？（２）ｔ取何值时，面积Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２最大？五、（本题满分５分）【同试卷Ⅳ　第六题】六、（本题满分８分）设某产品的总成本函数为Ｃ（ｘ）＝４００＋３ｘ＋１２ｘ２，而需求函数为ｐ＝１００ｘ，其中ｘ为产量（假定等于需求量），ｐ为价格，试求：（１）边际成本；（２）边际收益；（３）边际利润；（４）收益的价格弹性．七、（本题满分８分）【同试卷Ⅳ　第八题】八、（本题满分７分）【同试卷Ⅳ　第九题】九、（本题满分６分）【同试卷Ⅳ　第十题】十、（本题满分８分）已知随机变量Ｘ的概率分布为Ｐ｛Ｘ＝１｝＝０．２，Ｐ｛Ｘ＝２｝＝０．３，Ｐ｛Ｘ＝３｝＝０．５，试写出Ｘ的分布函数Ｆ（ｘ），并求Ｘ的数学期望与方差．十一、（本题满分８分）【同试卷Ⅳ　第十二题】４历年考研数学真题解析及复习思路（数学三）１９８８年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅳ）一、填空题（本题共４小题，每小题３分，满分１２分）（１）设ｆ（ｘ）＝∫ｘ０ｅ－１２ｔ２ｄｔ，－∞＜ｘ＜＋∞，则①ｆ′（ｘ）＝；　　　　　②ｆ（ｘ）的单调性是；③ｆ（ｘ）的奇偶性是；④其图形的拐点是；⑤凹凸区间是；⑥水平渐近线是．（２）１１１０１１０１１０１１０１１１＝．（３）设矩阵Ａ＝０００１００１００１００１０００æèççççöø÷÷÷÷，则Ａ－１＝．（４）设Ｐ（Ａ）＝０．４，Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝０．７，那么①若Ａ与Ｂ互不相容，则Ｐ（Ｂ）＝；②若Ａ与Ｂ相互独立，则Ｐ（Ｂ）＝．二、判断题（本题共５小题，每小题２分，满分１０分）（１）若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）与ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）均存在，则ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）存在．（２）若ｘ０是函数ｆ（ｘ）的极值点，则必有ｆ′（ｘ０）＝０．（３）等式∫ａ０ｆ（ｘ）ｄｘ＝－∫ａ０ｆ（ａ－ｘ）ｄｘ对任何实数ａ都成立．（４）若Ａ和Ｂ都是ｎ阶非零方阵，且ＡＢ＝Ｏ，则Ａ的秩必小于ｎ．（５）若事件Ａ，Ｂ，Ｃ满足等式Ａ∪Ｃ＝Ｂ∪Ｃ，则Ａ＝Ｂ．三、（本题共４小题，每小题４分，满分１６分）（１）求极限ｌｉｍｘ→１ｘｘ－１ｘｌｎｘ．　　　　　　　　　　　（２）已知ｕ＋ｅｕ＝ｘｙ，求∂２ｕ∂ｘ∂ｙ．（３）求定积分∫３０１ｘ（１＋ｘ）ｄｘ．（４）求二重积分∫π６０ｄｙ∫π６ｙｃｏｓｘｘｄｘ．四、（本题共２小题，每小题３分，满分６分）（１）讨论级数􀰐∞ｎ＝１（ｎ＋１）！ｎｎ＋１的敛散性．（２）已知级数􀰐∞ｎ＝１ａ２ｎ与􀰐∞ｎ＝１ｂ２ｎ都收敛，试证明级数􀰐∞ｎ＝１ａｎｂｎ绝对收敛．５１９８８年真题五、（本题满分８分）已知某商品的需求量Ｄ和供给量Ｓ都是价格ｐ的函数：Ｄ＝Ｄ（ｐ）＝ａｐ２，Ｓ＝Ｓ（ｐ）＝ｂｐ，其中ａ＞０和ｂ＞０为常数；价格ｐ是时间ｔ的函数且满足方程．ｄｐｄｔ＝ｋ［Ｄ（ｐ）－Ｓ（ｐ）］（ｋ为正的常数）．假设当ｔ＝０时价格为１，试求：（１）需求量等于供给量时的均衡价格ｐｅ；（２）价格函数ｐ（ｔ）；（３）极限ｌｉｍｔ→＋∞ｐ（ｔ）．六、（本题满分８分）在曲线ｙ＝ｘ２（ｘ≥０）上某点Ａ处作一切线，使之与曲线以及ｘ轴所围图形的面积为１１２，试求：（１）切点Ａ的坐标；（２）过切点Ａ的切线方程；（３）由上述所围平面图形绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积．七、（本题满分８分）已知线性方程组ｘ１＋ｘ２＋２ｘ３＋３ｘ４＝１，ｘ１＋３ｘ２＋６ｘ３＋ｘ４＝３，３ｘ１－ｘ２－ｋ１ｘ３＋１５ｘ４＝３，ｘ１－５ｘ２－１０ｘ３＋１２ｘ４＝ｋ２．ìîíïïïïïï问ｋ１和ｋ２各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解的情况下，试求出一般解．八、（本题满分７分）已知向量组α１，α２，…，αｓ（ｓ≥２）线性无关．设β１＝α１＋α２，β２＝α２＋α３，…，βｓ－１＝αｓ－１＋αｓ，βｓ＝αｓ＋α１．试讨论向量组β１，β２，…，βｓ的线性相关性．九、（本题满分６分）设Ａ是３阶方阵，Ａ∗是Ａ的伴随矩阵，Ａ的行列式Ａ＝１２，求行列式（３Ａ）－１－２Ａ∗的值．十、（本题满分７分）玻璃杯成箱出售，每箱２０只．假设各箱含０，１，２只残次品的概率相应为０．８，０．１和０．１．一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看４只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．试求：（１）顾客买下该箱的概率α；（２）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率β．十一、（本题满分６分）某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占２０％，以Ｘ表示在随意抽查的１００个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数．６历年考研数学真题解析及复习思路（数学三）（１）写出Ｘ的概率分布；（２）利用棣莫佛一拉普拉斯定理，求出被盗索赔户不少于１４户且不多于３０户的概率的近似值．［附表］Φ（ｘ）是标准正态分布函数．ｘ００．５１１．５２２．５３Φ（ｘ）０．５０．６９２０．８４１０．９３３０．９７７０．９９４０．９９９十二、（本题满分６分）假设随机变量Ｘ在区间（１，２）上服从均匀分布．试求随机变量Ｙ＝ｅ２Ｘ的概率密度ｆ（ｙ）．（试卷Ⅴ）一、（本题满分１２分）【同试卷Ⅳ　第一题】　　　二、（本题满分１０分）【同试卷Ⅳ　第二题】三、（本题共４小题，每小题４分，满分１６分）（１）求极限ｌｉｍｘ→１（１－ｘ２）ｔａｎπ２ｘ．（２）已知ｕ＝ｅｘｙ，求􀆟２ｕ􀆟ｘ􀆟ｙ．（３）【同试卷Ⅳ　第三、（３）题】　（４）【同试卷Ⅳ　第三、（４）题】四、（本题满分６分）确定常数ａ和ｂ，使函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，ｘ＞１，ｘ２，ｘ≤１{处处可导．五、（本题满分８分）将长为ａ的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形．问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？六、（本题满分８分）【同试卷Ⅳ　第六题】七、（本题满分８分）【同试卷Ⅳ　第七题】八、（本题满分６分）已知ｎ阶方阵Ａ满足矩阵方程Ａ２－３Ａ－２Ｅ＝Ｏ，其中Ａ给定，Ｅ是单位矩阵．证明：Ａ可逆，并求出其逆矩阵Ａ－１．九、（本题满分７分）【同试卷Ⅳ　第八题】十、（本题满分７分）【同试卷Ⅳ　第十题】十一、（本题满分７分）假设有十只同种电器元件，其中有两只废品．装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只．试求在取到正品之前，已取出的废品只数的概率分布、数学期望和方差．十二、（本题满分５分）【同试卷Ⅳ　第十二题】７１９８８年真题１９８９年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅳ）一、填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）曲线ｙ＝ｘ＋ｓｉｎ２ｘ在点π２，１＋π２æèçöø÷处的切线方程是．（２）幂级数􀰐∞ｎ＝