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義守大學工業工程與管理學系畢業專題成果發表研討會1利用可拓工程方法於國小學童成績評量之實證研究*黃琬期、林世峰、張天慈義守大學工業工程與管理學系高雄縣大樹鄉學城路一段一號*sagit127@gmail.com摘要學業成績為學童學習成就之評量，但傳統成績計算方法卻不能讓教師從分數中了解學生學習成果。為避免同儕之間分數競爭壓力，本研究延續先期研究[1]之結果實際採用學童成績，研究樣本為北市某國小中高年級共十二個班級。研究結果將與教師做實地訪談，也發現可拓工程方法確實可提供教師在最短的時間內了解學生學習狀況，亦可幫助教師在課後針對學習欠佳的同學進行課後輔導。本研究也深入探討經典域重疊是否影響可拓分析之研究結果，來提升判斷結果的正確度。關鍵字：可拓工程、關聯函數、成績評量1.前言1.1研究動機在傳統評量國小學童的學習成績，僅是單純的運用成績做為評斷標準，但卻造成學童間因競爭分數的高低，造成學習的壓力與阻礙，因此目前均採用等第方式，優（90～100）、甲（80～89）、乙（71～79）、丙（61～69）、丁（0～59），五等第方式來衡量學童在校學習成績，這樣的評分方式可能會造成成績上判定的偏差，評斷方式中隱藏著不客觀的現象；例如A學童成績為71分等第評斷為乙，B學童79分等第評斷同為乙，但A同學與B同學的成績實際上是相差了8分，卻同為乙等第；C學童成績為89分等第評斷為甲，D學童90分等第評斷卻為優，事實上C同學與D同學成績相差僅僅的一分，卻相差一個等第，發現在學童成績評斷上存在著不客觀與不公平。在許多文獻中，模糊[2]、灰色理論[3]等方法用於學童成績之研究皆有其可行性，因此本研究嘗試利用「可拓理論」分析方法計算學童學習成績，以了解可拓是否可適用於評斷學童學習成績，並探討其有何優缺點及其可行性，以解決上述矛盾問題。1.2研究目的一、可拓方法用於學童成績之評量能否公平的給予適當的等第，其優點與缺點。二、可拓求得之數據結果，是否表現學生在校各科學習狀況的程度，藉此使老師更清楚了解每位學童之學習狀況，是否有單科需要加強或只對單科方面有興趣的學童，方便老師給予適時的督導。三、利用可拓工程學分析數據、圖表，在每位學童整體表現、個性、處事態度與人際關係上，給予老師更多的資訊，不只是課業成績。四、利用可拓工程學分析之數據，與其班導師進行訪談，以了解傳統與可拓方法用於評斷學童成績，哪種方法合適。提供老師本研究之想法，提供一個客觀公平的成績評斷方式。1.3研究限制由於教育部對於學童成績之取得設有許多限制，因此不易正式取得大量的學童成績作為本研究之樣本，故本研究樣本有限，僅抽樣台北市某國小之中、高年級共12個班級做為樣本，每班學生約24–29位學生不等。2.可拓理論可拓理論在1983年1月由蔡文教授所創立義守大學工業工程與管理學系畢業專題成果發表研討會2[4]，蔡文教授把不相容和對立問題利用物元的可拓性、發散性、可加性等，透過物元轉換來呈現事物的「質」與「量」之間的關係，並研究如何將數學問題形式化，問題之間的關係和問題的轉化，解決問題的物元方程式、蘊含方程式、關連不等式和轉換橋的構造，從而建立一套解決矛盾問題的工具。學者謝無雙[5]提到，傳統古典數學和物元分析有著天然的關係，古典數學研究的像是事情的數量關係和空間形式；物元分析將研究對象拓展到事物的本質、特徵和量值，並試圖建立純數學和應用科學的結合，朝著科學統一化和綜合化的方向前進。2.1可拓集合可拓集合就是利用物元轉換方式解決主客觀矛盾的問題，是用來處理不相容問題時所利用的數學工具。它是將古典理論中的邏輯值域{0，1}，到模糊集合的（0，1），通過引入關連函數後延伸到（－∞，＋∞）。2.2物元的基本理論在可拓理論中，對於事物的定義是在給定一件事物的名稱N，它關於特徵c的量值為v，以有序組作為描述事物的基本元，也就是物元。)(vcNR，，(1)一個事物可以有多個特徵，若是我們假設一件事物)(vcNR，，是一個多維的物元，而事物具有n個特徵時，可用矩陣ncccC,,,21來表示，而相對應的量值則分別以數據矩陣nvvvV,,,21來表示，則多維物元表示為V,C,Nv,cv,cv,c,NRnn2211(2)2.3關聯函數在古典集合之中，用轉移函數來表示事物的真偽；在模糊集合之，用隸屬函數來表示模糊事物的隸屬程度；在可拓集合之中，使用關聯函數來表示事物關於某些量質的程度。事物的量質有數量量值與非數量值，而非數量量值必須透過數量化來變為數量量值，然後利用關聯函數，來表示可拓集合在整個實數軸上的事物與量值之間的關係，因此關聯函數的建立，使我們對於解決矛盾問題的過程中，是一項關鍵的方法。假設x為實域上的任何一點，0X=a,b，X=c,d，XX0，其點x與區間0X的距離表示方式為：0,22abbaxXx(3)其點x關於0X、X的位值為：(4)透過距與位置值的概念，建立出關聯函數表示為：XXxDXxxK,,,00(5)假設給定0X=＜2，6＞，X=＜1，9＞，x=7。則),,(0XXxD的意義表示如圖二圖二)9,1,6,2,7(D意義其關聯函數為133262126271921291726212627,,,00XXxDXxxK義守大學工業工程與管理學系畢業專題成果發表研討會33.研究方法3.1可拓分析演算法本研究使用的可拓分析演算法，可提供有意撰寫電腦程式研究者參考，並依照圖X說明如下：圖1研究流程圖4.實例分析與討論本研究延續黃盈豪等人[1]所得之初步結論，更進一步實際的探討應用可拓方法與傳統方法對學童成績評量上的差異，並實際與教師訪談，深入了解學童學習狀況。本章節將說明研究限制、研究步驟、研究流程和研究探討。本實例分析隨機選出高年級某班為範例，將經典域重疊分數兩分，作為實例分析例子，並比較可拓分析法與傳統計算方式兩者之差異。步驟一：資料收集與篩選首先以北部某國小五年H班為例，共28位學生為研究樣本，學科分為國語、英語、鄉土、數學、社會…等十一科科目。步驟二：建立物元模型步驟三：建立區間範圍建立各科學習分數之節域，如表1。表1各學科學習分數之節域再建立學習能力之經典域，並定義如下：表2各學科學習能力之經典域義守大學工業工程與管理學系畢業專題成果發表研討會4步驟四：計算關聯函數步驟五：確立權係數根據一星期該科堂數來計算權係數。例如：一星期有三十一堂課，國語佔其中七節，那麼國語的權係數為317，以此類推。)()(週各科堂數週該科堂數該學科之權係數步驟六：計算關聯度表3五年級H班學期成績之關聯度步驟七：關聯度比較並進行資料彙整可利用關聯函數結果分析學童學習狀況，進而與教師訪談，最出最後的結論。計算學期成績之關聯度如表3所示。藉著關聯函數所計算出的結果，發現編號H1、H3、H5、H10、H18五位學童在傳統計算方式與關聯度計算出的結果，在等第判定上有差異，因為該生的學習分數皆落在傳統計算方式上比較難判定模擬兩可的地帶，故我們利用關聯函數之演算，重新定義學習等第，使得判定上較具客觀。表3中的編號H3、H4、H6、H7、H11、H13~H19、H22、H26、H28看出，大多數的學生階符合關聯度分配曲線上有唯一的正值，如圖2所示，以H6生為例。H6之關聯函數分佈單峰曲線圖-1-0.500.5優甲乙丙丁等第關聯函數值H6圖2H6之關聯函數分佈單峰曲線圖從下表4也可以發現，編號D3學童的關聯函數值，造成分配曲線上有兩個高峰點所形成的雙峰，這類型的同學在等第判斷上容易出現差異的結果，如圖D3所示。表4三年級D班學期成績之關聯度義守大學工業工程與管理學系畢業專題成果發表研討會5D3之關聯函數分佈雙峰曲線圖-0.4-0.200.20.4優甲乙丙丁等第關聯函數值D3圖3D3之關聯函數分佈雙峰曲線圖步驟八：與教師進行訪談根據研究結果與教師進行訪談，深入了解學生平時學習狀況。訪談方向如下：1.針對可拓與傳統判斷有差異之學童，詳談該生之學習狀況及背景。2.您認為可拓方法用於學童成績之評量是否公平，為什麼？原先就發現國小學童分數本來差異就不大，和教師訪談後，我們得知老師在給予各科分數的同時也會憑著學童整體學習狀況給予加分，例如：準時繳交訂正考卷、家長聯繫單、家庭聯絡簿簽名與否…等等。表5中列出從可拓評分方式與傳統成績計算方法中有差異者同學。表5三年級D班學期成績之關聯度訪談中得知大部份在等第判斷上有差異的學童可以很明顯發現，是課堂中無法集中，或是比較活潑好動的學生。表6中以D16為例，該生國語評量和考試訂正常常不能在老師指定時間完成，所以教師表示學習態度欠佳還是只能給了89.65。至於英語能力，因為父母離異由外婆撫養長大，再加上經濟狀況無法參與課後學習課程，導致成績一直無法提升。D19學生數學分數為78.5，發現數學能力明顯吃力，除了該生對數學敏銳度不夠，再加上家庭環境因素，導致無法提升。針對這類的學生，教師也會特別額外督導。表6三年級D班學期成績原始分數經由與多位教師訪談結果，老師們認為，長久使用下來的傳統計算方法，在判斷學童成績上還是有其公平性，但可拓方法卻可以快速發現學習狀況欠佳的學生，針對班導師想在第一時間利用成績去了解學童學習態度或是臨時代課老師在最有限的時間內，了解學生學習狀況，確實很有幫助，若能有更多的研究樣本，來證實此結論，這將會是輔助教師很好的一個工具。步驟九：計算和探討經典域不同之結果將每班成績更改其經典域以0.5為單位，範圍則是0-5之間，而經典域會多少會因經典域不同而結果會有所不同。研究結果發現，經典域重疊分數不同確實會影響到關聯度的結果。編號C10、C14、D4同學因為經典域設定的不同，而造成可拓結果不一樣，以下表7為例。表7編號C10、C14、D4同學經典域統整表編號C10的學童，該生傳統成績為89.58落在成績判斷的模糊地帶，從經典域重疊統整表可看出，可拓評斷結果優的次數多於甲，故判斷為義守大學工業工程與管理學系畢業專題成果發表研討會6優等第確實較具客觀性。C14學生可拓結果卻發現判斷優的次數多於甲，照道理應該可拓結果應判定為優等第，可是分數為82.99，較接近甲等第區間，又D4學童傳統分數為89.825，可拓結果評斷優的次數多於甲，所以判定為優等第。關於這個部份，尚未找出合適的原因，再加上樣本數的不足這個部份將建議後者做進一步的研究。5.結論與建議一、可拓方法用於學童成績之評量較於傳統評量方式有過之而無不及，能公平的給予適當等第且避免產生模糊地帶；而缺點則是一般人會因為不熟悉甚至沒聽過而難以上手。二、因應用可拓求得之數據不僅是對學生整體狀況來看，若是關聯函數每個等第變數很大，則是其學生分數極為不均所影響，單科科目則可直接找期關聯函數則可知其學習狀況，藉此使老師更清楚了解每位學童之學習狀況，方便老師給予適時的督導。三、目前我們僅利用學期成績來研究，故只能了解學生在課業上之表現，尚未能提供學童個性、處事態度與人際關係與可拓結果的相關性，故未來期盼可著重在這方面評量指標。四、與教師進行訪談後發現，大部份的教師還是認為傳統評量方式存在其公平性，但老師們也認同本研究可提供教師在最短的時間內發現學習狀況欠督導之學童，對於教師確實有很大的幫助。五、經本研究探討後發現，經典域重疊的不同，其結果確實有不同，但尚未發現其原理，故無法確定經典域重疊分數為何能夠最準確評量分數，建議未來可取得更多的樣本再進一步探討。參考文獻1.羅鈺婷，黃盈豪，侯佳伶、邱煒廷，2006，「利用可拓工程方法於學童成績評量之先期研究」。2.吳政達，1997，「以模糊理論在國小組織績效評估上之應用」，八十六學年度教育學術研討會。3.陳健彬，1992，「國民小學各學科評量與多元能力的灰關聯分析及數學學業的預測」，國立台北師範學院數理教育研究所/碩碩士論文。4.蔡文、楊春燕、林偉初，2001，「可拓工程方法」，全華科技圖書股份有限公司。5.謝無雙，1998，「物元理論與其在工程上