高等数学§3.1--微分中值定理

1第三章微分中值定理与导数的应用因为导数是函数随自变量变化的瞬时变所以可借助导数来研究函数.但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新的“桥梁”.中值定理(meanvaluetheorem)化率,2Rolle定理Lagrange中值定理小结思考题作业Chauchy中值定理§3.1微分中值定理第三章微分中值定理与导数的应用3定义,0的某邻域内若在x)),()((0xfxf或的一个为函数则称)()(0xfxf)()(0xfxf极大值(或极小值),函数的极大值与极小值统称为极值.极值点.恒有函数的极值与最大值最大值一、Fermat引理1.函数极值的定义使函数取得极值的点x0(自变量)称为41x2x3x4x5x6x函数的极值与最大值最大值函数的极大值、极小值是局部性的.在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大于某个极大值.只是一点附近的xyOab)(xfy5Fermat引理如果函数处在0)(xxf可导,0)(xxf在且处取得极值,那么.0)(0xf费马Fermat,(法)1601-16657Rolle定理:)(满足若函数xf;],[上连续在闭区间ba(1)(2);),(内可导在开区间ba(3)),()(bfaf罗尔Rolle,(法)1652-1719,),(内至少存在一点则在开区间ba使得.0)(f如,32)(2xxxf).1)(3(xx,]3,1[上连续在,)3,1(内可导在,0)3()1(ff且))3,1(1(,1取.0)(f),1(2)(xxf二、罗尔(Rolle)定理微分中值定理8(1)定理条件不全具备,1,010,)(xxxxf]1,1[,||)(xxxf注微分中值定理结论不一定成立.Rolle定理:)(满足若函数xf;],[上连续在闭区间ba(1)(2);),(内可导在开区间ba(3)),()(bfaf,),(内至少存在一点则在开区间ba使得.0)(f1xyO11yxO1yxO]1,0[,)(xxxf9例上在对函数]2,1[,1074)(23xxxxf证(1),]2,1[)(上连续在xf0)1(f(2),0)(xf方程),2,1(2x其中定理的假设条件满足)2(f结论正确有实根即07832xx),374(311x)374(312x.符合要求验证Rolle定理的正确性.Rolle定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道存在即可.,)2,1(内可导在微分中值定理10结论亦可写成注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813拉格朗日中值定理:)(满足若函数xf(1)(2),),(内至少存在一点则在开区间ba使得))(()()(abfafbf).()()(fabafbf微分中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间ba12ab12xxoy)(xfyABCDNM几何解释:.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧证分析:).()(bfaf条件中与罗尔定理相差弦AB方程为).()()()(axabafbfafy,)(ABxf减去弦曲线微分中值定理13作辅助函数)].()()()([)()(axabafbfafxfxF,)(满足罗尔定理的条件xF.0)(,),(Fba使得内至少存在一点则在0)()()(abafbff即.()()()()fbfafba或Lagrange中值公式微分中值定理14它表明了函数在两点处的函数值)()()()(fabafbf的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有极重要的地位.与导数间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数微分中值定理15例证明不等式证).(21xx,arctan)(xxf如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.记,arctanarctan1212xxxx,],[21上在xx利用微分中值定理,得)(11arctanarctan12212xxxx),,(21xx,111212arctanarctanxx,12xx))(()()(abfafbf),(ba微分中值定理16Lagrange公式可以写成下面的各种形式:.).)(()()()1(时也成立当baabfafbf)()()2(xfxxfxxxfy)()3(.的精确表达式增量y它表达了函数增量和某点的注,,未定这里,)(xf.之间和在xxx但是增量、这是十分方便的.由(3)式看出,).10(导数之间的直接关系.导数是个等式关系.Lagrange中值定理又称Lagrange中值公式又称有限增量公式.有限增量定理.微分中值定理17推论,)(上的导数恒为零在区间如果函数Ixf证21,xxI上任取两点在区间))(()()(1212xxfxfxf),()(21xfxf则.)(Cxf.)(上是一个常数在区间那末Ixf,由拉氏定理有由条件,即在区间I中任意两点的函数值都相等,所以,),(21xx0)(21xxLagrange中值定理:)(满足若函数xf(1)(2),),(内至少存在一点则在开区间ba使得))(()()(abfafbf;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间ba18例).11(2arccosarcsinxxx证明证]1,1[,arccosarcsin)(xxxxf设)11(11)(22xxxf.0]1,1[,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又20,2.2C即.2arccosarcsinxx000由推论自证).,(x,2cotarcarctanxx说明欲证,Ix只需证在上且,0Ix使.)(00CxfI,)(0Cxf,0)(xf微分中值定理19例.)1ln(1,0xxxxx时证明当证),1ln()(xxf上在],0[)(xxf),0)(()0()(xffxf,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx111,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即设],0[x)0(x由x0关键满足拉氏定理的条件,微分中值定理20柯西Cauchy(法)1789-1859Chauchy中值定理:)()(满足及若函数xFxf;],[上连续在闭区间ba(1)(2),),(内可导在开区间ba,),(内至少存在一点则在开区间ba使得,0)(xF且)()()()()()(FfaFbFafbf微分中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理广义微分中值定理21柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,微分中值定理22柯西定理的几何意义:)(F)(aF)y(fY)x(FX)(af)(bF)(bf)x(F)x(fXdYd注意:XYo弦的斜率切线斜率23罗尔定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxF)()()(bfaf罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:推广推广这三个定理的条件都是充分条件,换句话说,满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.而成立;不成立.微分中值定理定理也可能24例.10155的正实根有且仅有一个小于证明方程xx证,15)(5xxxf设,]1,0[)(连续在则xf,1)0(f且零点定理),1,0(0x即为方程的小于1的正实根.(1)存在性.3)1(f.0)(0xf使微分中值定理25,),1,0(011xxx设另有.0)(1xf使)(xf),,(10之间在至少存在一个xx.0)(f)1(5)(4xxf但,0.为唯一实根(2)唯一性使得))1,0((x之间在10,xx满足Rolle定理的条件..10155的正实根有且仅有一个小于证明方程xx矛盾,故假设不真!26例满足条件设常数nccc,,,10.01210ncccn试证方程010nnxcxcc.)1,0(内存在一个实根在分析注意到:)12(1210nnxncxcxcnnxcxcc10)(xf微分中值定理27证设,12)(1210nnxncxcxcxf,]1,0[)(上连续在xf0)0(f,)1,0(内可导在)1(f且Rolle定理,)1,0(内至少存在一个实根在,0)(f使得即010nnccc.为所求实根即x满足条件设常数nccc,,,10.01210ncccn试证方程010nnxcxcc.)1,0(内存在一个实根在微分中值定理28例.设],,0[)(Cxf且在),0(内可导,证明至少存在一点,),0(使.cot)()(ff解:由结论可知,只需证即0sin)(xxxf验证)(xF在],0[上满足Rolle定理条件.设xxfxFsin)()(微分中值定理29例.若)(xf可导,试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点.解:设,,0)()(2121xxxfxf欲证:,),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0])([xxxfe作辅助函数,)()(xfexFx验证)(xF在],[21xx上满足Rolle定理条件.微分中值定理30证)()(xfexgkx设;],[)()1(上连续在则baxg.0)()()3(bgag;),()()2(内可导在baxg即,0ke由于0)()(kfefekk0)()(kff即.)()(kff0])([xkxxfe.0)(),,(gba使微分中值定理:证明.)()(),(,kffbak使存在点对任意的实数且内可导在上连续在设,),(,],[)(babaxf).,(,0)(,0)()(baxxfbfaf定理由Rolle31例)].0()1([2)(),1,0(:,)1,0(,]1,0[)(fffxf使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数证分析结论可变形为2)(01)0()1(fff.)()(2xxxf,)(2xxF设上在]1,0[)(),(xFxf有内至少存在一点在,)1,0(01)0()1(ff)].0()1([2)(fff2)(f即微分中值定理满足柯西中值定理32例分析将结论交叉相乘得:.0)(,],[)()(试证明且可导在与若xgbaxgxf0])()()()()()([xxgxfbgxfxgaf辅助函数F(x)微分中值定理)()()()()()(),,(gfbggfafba使得)()()()()()()()(bgfgfgfgaf0)()()()()()()()(b