2020高考数学文科大一轮复习导学案：第一章-集合及简易逻辑-第一节集合-Word版含答案【KS5U

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合知识点一元素与集合1．集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．2．集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A.3．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．4．常用数集及其符号表示1．判断题(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.(×)(3)任何集合都有两个子集．(×)2．(1)已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为1或4.(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5.(3)集合A＝{x∈N|0x4}的真子集个数为7.(4)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝－2.解析：(1)∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.(2)∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．(3)因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.(4)∵A⊆B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.知识点二集合间的基本关系3．(必修1P12习题1.1A组第5(2)题改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是(D)A．{a}⊆AB．a⊆AC．{a}∈AD．a∉A解析：因为22不是自然数，所以a∉A.4．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为7.解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.知识点三集合的基本运算1．集合的三种基本运算2.活用集合的三类运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.5．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(A)A．{0,2}B．{1,2}C．{0}D．{－2，－1,0,1,2}解析：由题意知A∩B＝{0,2}．6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|xa}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(3，＋∞)．解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，∵A⊆B，B＝{x|xa}，∴a3.1．集合中子集的性质(1)一个集合的真子集必是其子集，一个集合的子集不一定是其真子集；(2)任何一个集合是它本身的子集；(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C(真子集也满足)；(4)若A⊆B，则有A＝∅和A≠∅两种可能．2．集合子集的个数：集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集、2n－1个真子集、2n－1个非空子集、2n－2个非空真子集．3．注意补集的两个性质∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．4．在解决含参数的集合问题时，要注意分类讨论和集合的互异性的应用．考向一集合的概念【例1】(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4(2)设A＝{2,3，a2－3a，a＋2a＋7}，B＝{|a－2|,2}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．【解析】(1)解法1：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1，0,1}，所以A中元素的个数为3×3＝9，故选A.解法2：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.(2)因为4∈A，即4∈{2,3，a2－3a，a＋2a＋7}，所以a2－3a＝4或a＋2a＋7＝4.若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4；若a＋2a＋7＝4，即a＋2a＋3＝0，a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2.由a2－3a与a＋2a＋7互异，得a≠－1.故a＝－2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|,2}，所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.综上所述，a的取值集合为{4}．【答案】(1)A(2){4}1研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义.2依据元素与集合的关系确定参数时，往往要对集合中含参数的元素取值情况进行分类讨论，并要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(1)设集合A＝{－1,0,2}，集合B＝{－x|x∈A且2－x∉A}，则B＝(A)A．{1}B．{－2}C．{－1，－2}D．{－1,0}(2)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(C)A．－1∉AB．－11∈AC．3k2－1∈AD．－34∉A解析：(1)若x＝－1，则2－x＝3∉A，此时－x＝1；若x＝0，则2－x＝2∈A，此时不符合要求；若x＝2，则2－x＝0∈A，此时不符合要求．所以B＝{1}．(2)当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，得k＝－103∉Z，所以－11∉A，所以B错误；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D错误；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确．考向二集合的基本关系【例2】(1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．ABB．BAC．A⊆BD．B＝A(2)已知集合A＝{x|x2－2019x＋20180}，B＝{x|xa}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}．因此BA.故选B.(2)由x2－2019x＋20180，解得1x2018，故A＝{x|1x2018}．又B＝{x|xa}，A⊆B，如图所示，可得a≥2018.【答案】(1)B(2)[2018，＋∞)本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是(－∞，1]．解析：A＝{x|1x2018}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，如图所示，可得a≤1.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.(1)(2019·中原名校联考)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx0，c0}，若A⊆B，则实数c的取值范围为(B)A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(0,1)D．(1，＋∞)(2)已知集合A＝yy＝x2－32x＋1，x∈34，2，B＝{x|x＋m2≥1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是－∞，－34∪34，＋∞.解析：(1)解法1：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x20}＝{x|0x1}，B＝{x|x2－cx0，c0}＝{x|0xc}．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1，故选B.解法2：A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x20}＝{x|0x1}，取c＝1，得B＝{x|0x1}，则A⊆B成立，可排除C、D；取c＝2，得B＝{x|0x2}，则A⊆B成立，可排除A，故选B.(2)因为y＝x－342＋716，x∈34，2，所以y∈716，2.又因为A⊆B，所以1－m2≤716，解得m≥34或m≤－34.考向三集合的基本运算方向1集合的交、并、补运算【例3】(1)(2018·天津卷)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x2}，则(A∪B)∩C＝()A．{－1,1}B．{0,1}C．{－1,0,1}D．{2,3,4}(2)(2019·山东临沂模拟)设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1}B．{x|1≤x2}C．{x|0x≤1}D．{x|x≤1}【解析】(1)由题意得A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，又C＝{x∈R|－1≤x2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C.(2)A＝{x|2x(x－2)1}＝{x|x(x－2)0}＝{x|0x2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x0}＝{x|x1}，则∁UB＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x2}．【答案】(1)C(2)B方向2利用集合运算求参数【例4】(1)(2019·邯郸二模)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－50}，B＝{x|4x2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是()A．[3,6)B．[1,2)C．[2,4)D．(2,4](2)(2019·泰安二模)设全集U＝R，集合A＝{x|x1}，集合B＝{x|xp}，若(∁UA)∩B＝∅，则p应该满足的条件是()A．p1B．p≥1C．p1D．p≤1【解析】(1)集合A＝{x∈Z|x2－4x－50}＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|4x2m}＝xxm2，∵A∩B有三个元素，∴1≤m22，解得2≤m4，∴实数m的取值范围是[2,4)．(2)∵全集U＝R，集合A＝{x|x1}，集合B＝{x|xp}，∴∁UA＝{x|x≤1}，又(∁UA)∩B＝∅，∴p≥1.【答案】(1)C(2)B集合的基本运算包括集合的交、并、补，解决此类运算问题一般应注意以下几点：一是看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提；二是对集合进行化简，有些集合是可以化简的，利用化简，可使问题变得简单明了，易于解决；三是注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩Venn图.1．(方向1)(2019·江西南昌中学模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，则(∁UB)∩A＝(D)A．(－∞，－1]B．(－∞，－1]∪(0,3)C．[0,3)D．(0,3)解析：集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0x≤4}，集合B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}＝{x|x≥3或x≤－1}．因为全集U＝R，所以∁UB＝{x|－1x3}，所以(∁UB)∩A＝(0,3)，故选D.2．(方向2)设A＝{x|(x－a)21}，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围为1a≤2.解析：依题设得：2－a21，3－a2≥1，即1a3，a≤2或a≥4.所以1a≤2.3．(方向2)已知集合A＝{x∈R||x＋2|3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝－1，n＝1.解析：A＝{x∈R||x＋2|3}＝{x∈R|－5x1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m1，则B＝{x|mx2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.考向四集合的新定义问题【例5】(2019·沈阳模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为()A．15B．16C．20D．21【解析】由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，