二次函数压轴题-培优-较难(中考真题)

第1页（共28页）二次函数压轴题-培优-较难（浙江中考真题）一．选择题（共5小题）1．如图，抛物线221yxxm交x轴于点(,0)Aa和(,0)Bb，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当0x时，0y；②若1a，则4b；③抛物线上有两点1(Px，1)y和2(Qx，2)y，若121xx，且122xx，则12yy；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当2m时，四边形EDFG周长的最小值为62．其中真命题的序号是()A．①B．②C．③D．④2．如图，二次函数2yaxbx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为1，则一次函数()yabxb的图象大致是()A．B．C．D．3．下列关于函数2610yxx的四个命题：①当0x时，y有最小值10；②n为任意实数，3xn时的函数值大于3xn时的函数值；③若3n，且n是整数，当1nxn剟时，y的整数值有(24)n个；④若函数图象过点0(,)ay和0(,1)by，其中0a，0b，则ab．其中真命题的序号是()A．①B．②C．③D．④4．抛物线2yax与直线1x，2x，1y，2y围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是()A．114a剟B．122a剟C．112a剟D．124a剟第2页（共28页）5．抛物线2yaxbxc交x轴于(1,0)A，(3,0)B，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①20ab；②23cb；③当1m时，2abambm；④当ABD是等腰直角三角形时，则12a；⑤当ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有()个．A．5B．4C．3D．2二．解答题（共13小题）6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数21262yxx的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出0y…时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点1B．若点1B向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点2B重合；若点1B向左平移(6)n个单位，将与该二次函数图象上的点2B重合．已知0m，0n，求m，n的值．7．设二次函数121()()(yxxxxx，2x是实数）．（1）甲求得当0x时，0y；当1x时，0y；乙求得当12x时，12y．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含1x，2x的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过(0,)m和(1,)n两点(m，n是实数），当1201xx时，求证：1016mn．8．已知函数2(yxbxcb，c为常数）的图象经过点(2,4)．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是(,)mn，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当51x剟时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．9．设二次函数2()(yaxbxaba，b是常数，0)a．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过(1,4)A，(0,1)B，(1,1)C三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．第3页（共28页）（3）若0ab，点(2P，)(0)mm在该二次函数图象上，求证：0a．10．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．11．如图，过抛物线2124yxx上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．12．定义：对于给定的二次函数2(0)yaxbxca，把形如22(0)(0)axbxcxyaxbxcx…的函数称为二次函数2(0)yaxbxca的衍生函数．（1）已知二次函数222yxx．①写出这个二次函数的衍生函数的表达式．②若点3(,)2Pm在这个二次函数的衍生函数的图象上，求m的值．第4页（共28页）③当23x剟时，求这个二次函数的衍生函数的最大值和最小值．（2）当二次函数2122(0)yxxaa的衍生函数的图象与以(3,2)A、(5,2)B、(5,4)C、(3,4)D为顶点的矩形ABCD的边只有两个公共点时，直接写出a的取值范围．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线2()2yxmm的顶点．（1）当0m时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当3m时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．14．已知，点M为二次函数2()41yxbb图象的顶点，直线5ymx分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线41yx上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且25()41mxxbb，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为(5,0)，点M在AOB内，若点1(4C，1)y，3(4D，2)y都在二次函数图象上，试比较1y与2y的大小．15．如图，抛物线2(0)yaxbxa过点(10,0)E，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设(,0)At，当2t时，4AD．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持2t时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线第5页（共28页）GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为(4,0)，(4,0)，(,0)Cm是线段AB上一点（与A，B点不重合），抛物线2111:(0)Lyaxbxca经过点A，C，顶点为D，抛物线2222:(0)Lyaxbxca经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．（1）若12a，1m，求抛物线1L，2L的解析式；（2）若1a，AFBF，求m的值；（3）是否存在这样的实数(0)aa，无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．17．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度()ym与水平距离()xm之间满足函数表达式2(4)yaxh，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当124a时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为125m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．第6页（共28页）18．如图，直线2yx与抛物线26(0)yaxbxa相交于1(2A，5)2和(4,)Bm，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标．第7页（共28页）二次函数压轴题-培优-较难（浙江中考真题）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）【分析】①根据二次函数所过象限，判断出y的符号；②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值；③根据1212xx，得到121xx，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出12yy；④作D关于y轴的对称点D，E关于x轴的对称点E，连接DE，DE与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D、E的坐标即可解答．【解答】解：①当0x时，函数图象过一四象限，当0xb时，0y；当xb时，0y，故本选项错误；②二次函数对称轴为212(1)x，当1a时有112b，解得3b，故本选项错误；③122xx，1212xx，又12101xx，Q点距离对称轴较远，12yy，故本选项正确；④如图，作D关于y轴的对称点D，E关于x轴的对称点E，连接DE，DE与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．当2m时，二次函数为223yxx，顶点纵坐标为1234y，D为(1,4)，则D为(1,4)；C点坐标为(0,3)C；则E为(2,3)，E为(2,3)；则22(21)(34)2DE；22(12)(43)58DE；四边形EDFG周长的最小值为258，故本选项错误．故选：C．第8页（共28页）【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、ab的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，0a，0b，当1x时，0yab，()yabxb的图象在第二、三、四象限，故选：D．【分析】分别根据二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增减性对各选项进行逐一分析．【解答】解：22610(3)1yxxx，当3x时，y有最小值1，故①错误；当3xn时，2(3)6(3)10ynn，当3xn时，2(3)6(3)10ynn，22(3)6(3)10[(3)6(3)10]0nnnn，n为任意实数，3xn时的函数值等于3xn时的函数值，故②错误；抛物线2610yxx的对称轴为3x，10a，当3x时，y随x的增大而增大，当1xn时，2(1)6(1)10ynn，当xn时，2610ynn，22(1)6(1)10[610]25nnnnn，n是整数，25n是整数，y的整数值有(24)n个；故③正确；抛物线2610yxx的对称轴为3x，10，当3x时，y随x的增大而增大，3x时，y随x的增大而减小，010yy，当03a，03b时，ab，当3a，3b时，ab，当03a，3b时，ab，故④错误，故选：C．第9页（共28页）【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决了．【解答】解：由右图知：(1,2)A，(2,1)B，再根据抛物线的性质，||a越大开口越小，把A点代入2yax得2a，把B点代入2yax得14a，则a的范围介于这两点之间，故124a剟．故选：D．【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点(1,0)A、(3,0)B，可知二次函数的对称轴为(1)312x，即12ba，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向下，1x