中考必做的36道数学压轴题

中考必做的36道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线222mxmxy（0m）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在12x这一段位于直线l的上方，并且在32x这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．解：（1）当x＝0时，y＝－2.∴A（0，－2）．抛物线对称轴为x＝212mm，∴B（1，0）．（2）易得A点关于对称轴的对称点为A（2，－2）则直线l经过A、B.没直线的解析式为y＝kx＋b则22,0.kbkb解得2,2.kb∴直线的解析式为y＝－2x＋2．（3）∵抛物线对称轴为x＝1抛物体在2x3这一段与在－1x0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在－2x1这一段位于直线l的上方，在－1x0这一段位于直线l的下方．∴抛物线与直线l的交点横坐标为－1；当x＝－1时，y＝－2x(－1)＋2＝4则抛物线过点（－1，4）当x＝－1时，m＋2m－2＝4，m＝2∴抛物线解析为y＝2x2－4x－2.连接（2013江苏南京，26，9分）已知二次函数y＝a（x－m）2－a（x－m）（a、m为常数，且a≠0）.（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C.与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.①当△ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值.【答案】（1）证明：y＝a（x－m）2－a（x－m）＝ax2－（2am＋a）x＋am2＋am.因为当a≠0时，［－（2am＋a）］2－4a（am2＋am）＝a2＞0.所以，方程ax2－（2am＋a）x＋am2＋am＝0有两个不相等的实数根.所以，不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点.………3分（2）解：①y＝a（x－m）2－a（x－m）＝a（x－212m）2－4a，所以，点C的坐标为（212m，－4a）.当y＝0时，a（x－m）2－a（x－m）＝0.解得x1＝m，x2＝m＋1.所以AB＝1.当△ABC的面积等于1时，21×1×4a＝1.所以21×1×（－4a）＝1，或21×1×4a＝1.所以a＝－8，或a＝8.②当x＝0时，y＝am2＋am.所以点D的坐标为（0，am2＋am）.当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，21×1×4a＝21×1×amam221×1×（－4a）=21×1×（am2＋am），或21×1×4a=21×1×（am2＋am）.所以m＝－21，或m＝221，或m＝221.………9分变式:（2012北京，23，7分）已知二次函数23(1)2(2)2ytxtx在0x和2x时的函数值相等。（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数6ykx的图象与二次函数的图象都经过点(3)Am，，求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点BC，（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点BC，间的部分（含点B和点C）向左平移(0)nn个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线6ykx向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。【答案】（1）①方法一：∵二次函数23(1)2(2)2ytxtx在0x和2x时的函数值相等∴334(1)4(2)22tt.∴32t.∴这个二次函数的解析式是21322yxx②方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为1x则2(2)12(1)tt∴32t.∴这个二次函数的解析式是21322yxx.（2）∵二次函数的图象过(3,)Am点.∴213(3)(3)622m.又∵一次函数6ykx的图象经过点A∴366k∴4k（3）令213022yxx解得：11x23x由题意知，点B、C间的部分图象的解析式为1(3)(1)2yxx，（13x）.则向左平移后得到图象G的解析式为：1(3)(1)2yxnxn，（13nxn）.此时平移后的一次函数的解析式为46yxn.若平移后的直线46yxn与平移后的抛物线1(3)(1)2yxnxn相切.则146(3)(1)2xnxnxn有两个相等的实数根。即一元二次方程22119(3)0222xnxn有两个相等的实数的根。∴判别式=22119(3)4()()0222nn解得：0n与0n矛盾.∴平移后的直线46yxn与平移后的抛物线1(3)(1)2yxnxn不相切.∴结合图象可知，如果平移后的直线与图象G有公共点，则两个临界交点为(1,0)n和(3,0)n.则4(1)60nn，解得：23n4(3)60nn，解得：6n∴263n第2题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破（例题）（2012湖南湘潭，26，10分）如图，抛物线)0(2232axaxy的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为0,4.（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标.【答案】解：（1）将B（4，0）代入)0(2232axaxy中，得：21a∴抛物线的解析式为：)0(223212axxy（2）∵当0223212xx时，解得41x，12x∴A点坐标为（－1，0），则OA=1∵当x=0时，2223212xxy∴C点坐标为（0,－2），则OC=2在Rt⊿AOC与Rt⊿COB中，21OBOCOCOA∴Rt⊿AOC∽Rt⊿COB∴∠ACO=∠CBO∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠CBO+∠OCB=90°那么⊿ABC为直角三角形所以⊿ABC的外接圆的圆心为AB中点，其坐标为（1.5，0）（3）连接OM.设M点坐标为（x，223212xx）则OBCOBMMBCS⊿⊿⊿⊿SSSOCM=4221221)22321(4212xxx=4)2(2x∴当x=2时，⊿MBC的面积有最大值为4，M的坐标为（2，－3）变式（2011安徽芜湖24）面直角坐标系中，▱ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到▱A'B'OC'．（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；（2）▱ABOC和▱A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”（例题）23．（2012河南，23，11分）如图，在平面直角坐标系中，直线112yx与抛物线23yaxbx交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sinACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由．第23题图BCDxOPAy【答案】（1）由1102x，得2,x∴(2,0)A由1132x，得4,x∴(4,3)B∵23yaxbx经过,AB两点，∴22(-2)-2-3=04+4-3=3abab∴11,22ab设直线AB与y轴交于点E，则(0,1)E∵PC∥y轴，∴ACPAEO.∴225sinsin55OAACPAEOAE（2）由⑴可知抛物线的解析式为211322yxx∴2111(,3),(,1)222PmmmCmm2211111(3)42222PCmmmmm在RtPCD中，sinPDPCACP2125(4)25mm2595(1).55m∵505∴当1m时，PD有最大值955②存在满足条件的m值，53229m或【提示】分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．在tRPDF中，211(28).55DFPDmm又4,BGm∴21(28)2545PCDPBCmmSDFmSBGm．当29510PCDPBCSmS时，解得52m；当21059PCDPBCSmS时，解得329m．变式一27．（2011江苏泰州，27，12分）已知：二次函数y=x2＋bx－3的图像经过点P（－2,5）．（1）求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围；（2）设点P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上．①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．【答案】解：（1）把点P代入二次函数解析式得5=（－2）2－2b－3，解得b=－2.当1＜x≤3时y的取值范围为－4＜y≤0.（2）①m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长．②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为m2－2m－3、m2－4、m2＋2m－3，由于，m2－2m－3＋m2－4＞m2＋2m－3，（m－2）2－8＞0，当m不小于5时成立，即y1＋y2＞y3成立．所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，变式二（2013重庆B卷，25，10分）如图，已知抛物线cbxxy2的图像与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5).（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图像上的一动点，过点M作MN//y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图像上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为1S，△ABN的面积为2S，且216SS，求点P的坐标.【答案】解：（1）设直线BC的解析式为nmxy，将B（5，0），C（0，5）代入有：505nnm解得：51nm所以直线BC的解析式为5xy再将B（5，0），C（0，5）代入抛物线cbxxy2有：50525ccb解得：56cb所以抛物线的解析式为：yxOCAB562xxy（2）设M的坐标为（x，562xx），则N的坐标为（x，5x），MN=)56()5(2xxx=xx52当25x时，MN有最大值为425（3）当0562xxy时，解得11x，52x故A（1,0），B（5,0），所以AB=4由（2）可知，N的坐标为（25，25）∴5254212S则30621SS，那么15CBPS△在y上取点Q(-1，0)，可得15CBQS△故QP∥BC则直线QP的解析式为1xy当1562xxx时，解得21x，32x1PM2PMyxOCABNMQ所以P点坐标为（2，3），（3，4），第四题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”（例题）（2012四川资阳，25，9分）抛物线214yxxm的顶点在直线3yx上，