对数函数总结

第1页共10页二、新授内容：定义：一般地，如果1,0aaa的b次幂等于N,就是Nab，那么数b叫做以a为底N的对数，记作bNalog，a叫做对数的底数，N叫做真数奎屯王新敞新疆例如：1642216log4;1001022100log102421212log4;01.0102201.0log10探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N0）⑵01loga，1logaa∵对任意0a且1a,都有10a∴01loga同样易知：1logaa⑶对数恒等式如果把Nab中的b写成Nalog,则有NaNalog⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数奎屯王新敞新疆为了简便,N的常用对数N10log简记作lgN奎屯王新敞新疆例如：5log10简记作lg5;5.3log10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数Nelog简记作lnN奎屯王新敞新疆例如：3loge简记作ln3;10loge简记作ln10（6）底数的取值范围),1()1,0(；真数的取值范围),0(奎屯王新敞新疆三、讲解范例：咯log例1将下列指数式写成对数式：（课本第87页）（1）45=625（2）62=641（3）a3=27(4)m）（31=5.73例2将下列对数式写成指数式：（1）416log21；（2）2log128=7；（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303第2页共10页例3计算：⑴27log9，⑵81log43，⑶32log32，⑷625log345二、新授内容：积、商、幂的对数运算法则：如果a0，a1，M0，N0有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa三、讲授范例：例1计算（1）5log25，（2）4.0log1，（3）2log（74×52），（4）lg5100例2用xalog，yalog，zalog表示下列各式：32log)2(;(1)logzyxzxyaa奎屯王新敞新疆例3计算：(1)lg14-2lg37+lg7-lg18(2)9lg243lg(3)2.1lg10lg38lg27lg四、课堂练习：1.求下列各式的值：（１）2log６－2log３奎屯王新敞新疆（２）lg５＋lg２奎屯王新敞新疆（３）5log３＋5log31奎屯王新敞新疆（４）3log５－3log１５奎屯王新敞新疆2.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：(1)lg（xyz）；（２）lgzxy2；（３）zxy3lg；（４）zyx2lg二、新授内容：1.对数换底公式：aNNmmalogloglog(a0,a1，m0,m1,N0)奎屯王新敞新疆证明：设alogN=x,则xa=N奎屯王新敞新疆两边取以m为底的对数：NaxNammmxmloglogloglog从而得：aNxmmloglog∴aNNmmalogloglog奎屯王新敞新疆2.两个常用的推论:第3页共10页①1loglogabba，1logloglogacbcba奎屯王新敞新疆②bmnbanamloglog（a,b0且均不为1）奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1已知2log3=a，3log7=b,用a,b表示42log56例2计算：①3log12.05②4219432log2log3log奎屯王新敞新疆例3设),0(,,zyx且zyx6431求证zyx1211；2比较zyx6,4,3的大小奎屯王新敞新疆例4已知alogx=alogc+b，求x奎屯王新敞新疆四、课堂练习：①已知18log9=a,b18=5,用a,b表示36log45②若8log3=p,3log5=q,求lg51．证明：bxxaabalog1loglog2．已知naaabbbnlogloglog2121求证：)(log2121naaabbbn二、新授内容：1．对数函数的定义：函数xyalog)10(aa且叫做对数函数；它是指数函数xay)10(aa且的反函数奎屯王新敞新疆对数函数xyalog)10(aa且的定义域为),0(，值域为),(奎屯王新敞新疆2．对数函数的图象由于对数函数xyalog与指数函数xay互为反函数，所以xyalog的图象与xay的图象关于直线xy对称奎屯王新敞新疆因此，我们只要画出和xay的图象关于xy对称的曲线，就可以得到xyalog的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质奎屯王新敞新疆第4页共10页4321-1-2-3-6-4-2246011A4321-1-2-3-22460113．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质奎屯王新敞新疆见P87表a10a1图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011性质定义域：（0，+∞）值域：R过点（1，0），即当x=1时，y=0)1,0(x时0y),1(x时0y)1,0(x时0y),1(x时0y在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数三、讲解范例：例1（课本第94页）求下列函数的定义域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya例2求下列函数的反函数①121xy②3)21(12xy)0(x四、练习：1.画出函数y=3logx及y=x31log的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.2.求下列函数的定义域：（1）y=3log(1-x)(2)y=x2log1(3)y=x311log7xy3log)4(第5页共10页二、新授内容：例1比较下列各组数中两个值的大小：⑴5.8log,4.3log22；⑵7.2log,8.1log3.03.0；⑶)1,0(9.5log,1.5logaaaa奎屯王新敞新疆例3比较下列各组中两个值的大小：⑴6log,7log76；⑵8.0log,log23奎屯王新敞新疆例4求下列函数的定义域、值域：⑴41212xy⑵)52(log22xxy⑶)54(log231xxy⑷)(log2xxya)10(a奎屯王新敞新疆1．比较2log0.7与31log0.8两值大小奎屯王新敞新疆2．已知下列不等式，比较正数m、n的大小：（1）3logm＜3logn(2)3.0logm＞3.0logn(3)alogm＜alogn(0＜a＜1)(4)alogm＞alogn(a＞1)奎屯王新敞新疆二、新授内容：例1⑴证明函数)1(log)(22xxf在),0(上是增函数奎屯王新敞新疆⑵函数)1(log)(22xxf在)0,(上是减函数还是增函数？例2求函数)32(log221xxy的单调区间，并用单调定义给予证明奎屯王新敞新疆三、练习：1.求y=3.0log(2x-2x)的单调递减区间奎屯王新敞新疆2.求函数y=2log(2x-4x)的单调递增区间奎屯王新敞新疆3.已知y=alog(2-xa)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.练习（1）证明函数y=21log(2x+1)在（0，+∞）上是减函数；（2）判断函数y=21log（2x+1)在（-∞,0）上是增减性.概念是数学理论的基础、概念性强是中学数学中函数理论的一个显著特征，集合，函数三要素（对应法则、定义域、值域）；反函数；函数的单调性，最大（小）值等是函数有关概念的重要内容.本章学习的内容中数学概念较多，正确地理解数学概念在于准确把握概念的本质特征.第6页共10页1.映射的定义，就明确如下几点（1）映射f:A→B说的是两个集合A与B间的一种对应，两个集合是有序.（2）映射必须是“多对一”或“一对一”的对应，即允许集合A中不同元素在集合B中有相同的象，但不要求B中的元素在A中都有原象，有原象也不要求惟一，象集可以是B的真子集.（3）映射所涉及两个集合A、B(均非空)，可以是数集，也可以是点集或其他类元素构成的集合.2.函数的概念在映射的基础上理解函数概念，应明确：（1）函数是一种特殊的对应，它要求是两个集合必须是非空数集；函数y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，其中x是自变量，y是自变量x的函数，f是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象，也有的只能用文字语言叙述.（2）函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.（3）确定函数定义域是函数这部分所涉及的重要问题之一，应会求各种函数的定义域，若为实际问题还应注意实际问题有意义.3.函数的单调性函数的单调性是函数重要概念之一，应明确：（1）它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的，谈到函数的单调性必须指明区间（可以是定义域，也可以是定义域内某个区间），例如函数y=x1在（-∞,0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数，但决不能讲函数y=x1是减函数.（2）用函数单调性定义来确定函数在某区间是增函数还是减函数的一般方法步骤是：取值作差化积定号.（3）由函数单调性的定义知，当自变量由小到大，函数值也由小到大，则为增函数，反之，为减函数；由函数图象的走向十分直观反映函数变化趋势，当函数的图象（曲线）从左到右是逐渐上升的，它是增函数，反之为减函数.4.反函数反函数是函数部分重要概念之一，应明确：（1）对于任意一个函数y=f(x)不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数y=f(x)与它的反函数是互为反函数.（2）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域，在求反函数时，应先确定原函数的值域.（3）求反函数的步骤是“一解”“二换”.所谓一解，即是首先由给出原函数的解析式y=f(x)，反解出用y表示x的式子x=f1(y)；二换，即是将x=f1(y)中的x,y两个字母互换，解到y=f1(x)即为所求的反函数（即先解后换）.当然，在同一直角坐标系中，函数y=f(x)与x=f1(y)是表示同一图象，y=f(x)与y=f1(x)的图象关于直线y=x对称.（4）一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数.（5）原函数与其反函数在其对称区间上的单调性是一致的.5．方法总结⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.第7页共10页⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.⑶.反函数的求法：递解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.⑹.单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较.⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.⑼.函数的应用举例(实际问题