第3章-非保守系统

第3章非保守系统373.非保守系统非保守系统是由于系统中阻尼机制的引入，使得本来能量守恒的保守系统变为能量耗散的非保守系统。当阻尼的引入使系统能量耗散，则称为正阻尼，而当阻尼的引入使系统能量增加，这种阻尼则称为负阻尼。3.1实例3.1.1Coulomb阻尼图3-1（a）弹簧质量系统（b）摩擦力与速度的关系如图3-1所示的质量弹簧系统，接触面是干的，则与运动方向相反的摩擦力f称为Coulomb阻尼。图示曲线表明，当一外力作用于静止的质量块上时，在静平衡范围内有静摩擦力产生；而当物块运动时，摩擦力的大小与速度有关，当mxx&&时，摩擦力随速度递增，而当mxx&&时，摩擦力随速度递减。在大多数的应用中，Coulomb摩擦力通常近似为一常数，这样，图示系统的运动微分方程为()−==+00xmgxmgfxFxmdd&&&&µµ(3.1.1)其中dµ称为动力摩擦系数，是弹簧的恢复力。()xF−3.1.2线性阻尼当接触面之间覆盖了一层液膜，从而使得两接触表明并不接触，通常假设摩擦力与速度第3章非保守系统38梯度成正比，即hxf/&∝（h为液膜厚度），因此，运动方程为()0=++xFxcxm&&&(3.1.2)其中c是正常数，与流体的性质及接触面的状况有关。线性阻尼的另一个例子是在液体中浸没的物体以低Reynolds数运动时（Stokes流）所受到的阻力。3.1.3非线性阻尼当液体中浸没的物体在高Reynolds数下运动时，物体所受到的阻力正比于速度的平方，因此，运动方程有如下形式：()xxcxFxm&&&&−=+(3.1.3)当Reynolds数为中速时，阻尼力位于线性和二次型之间，某些研究结果给出的阻尼力形式为xxc&&α−其中10α。另外一种阻尼模型为()xxcf&−或()xxcg&&−3.1.4滞后阻尼（Hystereticdamping）图3-2（a）滞后阻尼系统（b）恢复力加载过程第3章非保守系统39考察如图3-2所示的系统，它是展示滞后阻尼的一个简单例子。质量为m的质量块置于光滑的水平面上，回复装置由一弹簧（不一定是线性的）和一串联机构并联生成，串联机构为一弹簧和一Coulomb阻尼器，函数f1、f2给出弹簧的恢复力。设质量块从静止开始向右运动，上层弹簧始终给出恢复力()xf1sx，x是质量块的位置坐标，然而，下层的恢复力依赖于质量块运动过的路径，当x≤时，其中是阻尼器的极限摩擦力，下层机构的恢复力为，这里假设下层弹簧为刚度为k的线性弹簧；当时，阻尼器滑动，下层弹簧伸长为，因此，下层机构的恢复力依然为s（见图3-2所示）。()ssfxf=2skxf=kxsxsxx≥假设运动在位置转向，开始时阻尼器不滑动，恢复力从kx降到sbxxx=s()()()bsxx−+bsxkxxxk=−−sbcxxxx2−==cx，如图3-2（b）所示，沿着BC下降。当质量块运动到达，此时，下层弹簧被压缩了，弹簧恢复力达到了摩擦力的极限值，当x减小并小于时，阻尼器滑动，下层机构恢复力保持为sxsfskx−。如果运动在点转向，则阻尼器初始不滑动，下层机构恢复力为dx=x()sdxxxk−−，如图所示，沿着DA上升。当质量块运动到达，阻尼器开始滑动，恢复力保持为。恢复力图显示了载荷是循环的。axskx3.2一阶近似方法的应用从第1章近似方法的学习中我们已经知道，对于单自由度非保守系统微分方程的一般形式，=+dtduuFudtud,2022εω(3.2.1)多尺度方法的一次近似表达式与采用平均法的解结果相同，即()()[]()εβωOtttau++=0cos(3.2.2)其中，振幅与相位满足下列微分方程：()∫−−=πψψψωψπωε2000sinsin,cos2daaFa&(3.2.3)第3章非保守系统40()∫−−=πψψψωψπωεβ2000cossin,cos2daaFa&(3.2.4)3.2.1线性阻尼微分方程为uuu&&&εµω220−=+(3.2.5)因此，由式(3.2.1)，uF&µ2−=，解振幅与相位所满足的方程为adaaεµψψωµπωεπ−=−=∫20200sin22&(3.2.6)0cossin222000=−=∫πψψψωµπωεβdaa&(3.2.7)解得()00,expββεµ=−=taa从而线性阻尼系统的解为()()()εβωεµOttau++−=000cosexp(3.2.8)在该级近似下，频率与粘性无关，而振幅则呈指数衰减。图3-3线性阻尼系统第3章非保守系统413.2.2平方阻尼描述平方阻尼的运动方程为uuuu&&&&εω−=+20(3.2.9)因此，由式(3.2.1)，uuF&&−=，解振幅与相位所满足的方程为∫−=πψψψπωε20202sinsin2daa&(3.2.10)∫−=πψψψψπωεβ200sincossin2da&(3.2.11)对方程(3.2.10)、(3.2.11)作进一步积分，得到02030223030234sinsinsin2ωεπψψπωεψψψψπωεππππadaddaa−=−=−−=∫∫∫&(3.2.12)0cossincossincossin202022020=−=−−=∫∫∫ππππψψψπωεψψψψψψπωεβdadda&(3.2.13)对a所满足的微分方程(3.2.12)，积分得到1taaaπεω341000+=(3.2.14)因此，平方阻尼系统的解为1在MATHEMATICA中输入命令：DSolvea't−b^2at^2,a0a0,at,t@8@D@D@D@DD第3章非保守系统42()εβω()πεωOttaau+++=00000cos341(3.2.15)在该级近似下，频率与粘性无关，而振幅则呈代数衰减而非指数衰减。图3-4平方阻尼系统3.2.3Coulomb阻尼描述Coulomb阻尼系统的微分方程为−==+0020uufuu&&&&εµεµω(3.2.16)我们可以将方程(3.2.16)改写为如下形式：()uuu&&&sgn20εµω−=+(3.2.17)此时，由式(3.2.1)，()uF&sgnµ−=，解振幅与相位所满足的方程为()020020002sinsin2sinsinsgn2πωεµψψψψπωεµψψψωπωεµππππ−=−−=−=∫∫∫dddaa&(3.2.18)第3章非保守系统43()0coscos2cossinsgn22002000=−−=−=∫∫∫ππππψψψψπωεµψψψωπωεµβddadaa&(3.2.19)方程(3.2.18)、(3.2.20)的解为000,2ββπωεµ=−=taa(3.2.21)在该级近似下，频率与粘性无关，而振幅则呈关于时间的线性衰减。图3-5Coulomb阻尼系统3.2.4滞后阻尼我们在第3.1节中所讨论的滞后阻尼的例子，令上层弹簧是线性的，刚度为k，下层弹簧刚度为mε，则运动方程为Fxxεω=+20&&(3.2.22)其中，，mk/20=ω第3章非保守系统44≥≥≥≥−−≥≥−≥≥−+=−)along()along()along()along(ABxxxxADxxxxxxCDxxxxBCxxxxxxFabsdadsdcscbbs(3.2.23)其中，sdasbcxxxxxx2,2+=−=将F的表达式(3.2.22)代入公式(3.2.3)、(3.2.4)，得到()()()()()]sinsinsinsin[20∫∫∫∫+−−+−−+=baaddccbxxsxxdsxxsxxbsxdxxdxxxxdxxdxxxaψψψψψψψψπω()ε&(3.2.24)()()()()()()]coscoscoscos[20∫∫∫∫+−−+−−+=baaddccbxxsxxdsxxsxxbsxdxxdxxxxdxxdxxxaψψψψψψψψπωεβ&(3.2.25)对方程(3.2.23)、(3.2.24)中的积分式作变量代换，令在B点0=ψ，在D点，由于ψcosax=，有21cos2,cos2,ψψaxxxaxaxxxaxsdadsbcb=+=−==−==(3.2.26)得到−=−=−−aaxaxass2cos,2cos1211ψψ(3.2.27)从而方程(3.2.23)、(3.2.24)变为()()]sinsincossinsincos[22002211∫∫∫∫++−+−−+=πψψππψψψψψψψψψψψψπωεdxdaxadxdaxaassss&(3.2.28)()()]coscoscoscoscoscos[22002211∫∫∫∫++−+−−+=πψψππψψψψψψψψψψψψπωεβdxdaxadxdaxaassss&(3.2.29)对式(3.2.27)、(3.2.30)中的积分式进行运算，得到第3章非保守系统45()axaxass−=02πωε&(3.2.31)−−−−=−2/1221210212cosaxaxaxaxassssπωεβ&(3.2.32)方程(3.2.33)的解为()ctxxaxasss+−=−+02lnπωε(3.2.34)上式显示，当∞→t时，，而(3.2.30)式显示，，结果与无滞后作用时的情形相同。sxa→02/ωεβ→&图3-6滞后阻尼系统3.2.5负阻尼处理自激振动力学系统，主要有一类自激振子，vanderPol方程，非线性控制系统中的支承振动，自激结构的响应，高速转子中的自激振动等问题。考察Rayleigh振子，3uuF&&−=(3.2.35)振动方程为()320uuuu&&&&−=+εω(3.2.36)第3章非保守系统46由公式(3.2.3)、(3.2.4)，得到振幅与相位所满足的方程为()−=−=∫2022032024312sinsinsin2ωεψψψωψπεπaadaaa&(3.2.37)()0cossinsin2203202=−=∫πψψψωψπεβda&(3.2.38)方程(3.2.35)的解为0ββ=，而方程(3.2.34)的解2则为()()taaaaεωω−−+=exp1202043202043202(3.2.39)解方程(3.2.36)显示，当t时，∞→03/2ω=→saa（00≠aa）。这种振动称为自激振动，方程(3.2.34)显示，当a时，a，a趋于递增；而当a时，a，a趋于递减，因此，是稳定的振幅值。sa0&s0&saa=图3-7Rayleigh振子（a）大扰动（b）小扰动图3-8Rayleigh振子的相图2在MATHEMATICA系统中输入命令：第3章非保守系统473.3高阶近似方法的应用对于有些非线性系统，采用多尺度方法或平均法所导出的一次近似公式并不能反映出振动系统中非线性作用，此时，我们通常采用高阶的多尺度方法。3.3.1线性阻尼单摆对于带线性阻尼的单摆问题，其运动方程为0sinˆ220=++θωθµθ&&&(3.3.1)方程的奇点为π的整数倍，偶数时为焦点，奇数时为鞍点。考察系统在零点附近的近似解并考虑系统的非线性作用。将θsin展开成两项，则方程(3.3.1)变为()0ˆ236120=−++θθωθµθ&&&(3.3.2)我们首先考虑弱阻尼，令µεµ2ˆ=代入方程(3.3.2)，为()02361202=−++θθωθµεθ&&&(3.3.3)根据多尺度方法，假设()()()()L+++=21033210222101,,,,,,,TTTTTTTTTtθεθεεθεθ(3.3.4)代入方程(3.3.3)，并计算ε各阶幂次的系数，得到方程：0:1201201=+θωθεD(3.3.5)11022022022:θθωθεDDD−=+(3.3.6)312061101211202103203203222:θωθµθθθθωθε+−−−−=+DDDDDDD(3.3.7)DSolve@8a2'@tDea2@tDH1−3ê4w^2a2@tDL,a2