高一数学集合知识点归纳及典型例题2

集合一、知识点：1、元素：（1）集合中的对象称为元素，若a是集合A的元素，记作Aa；若b不是集合A的元素，记作Ab;（2）集合中对象元素的性质：确定性、互异性、无序性;（3）集合表示方法：列举法、描述法、图示法；（4）常用数集：RQZNNN;;;;;*2、集合的关系：子集相等3、全集交集并集补集4、集合的性质：（1）;,,ABBAAAAA(2);,ABBAAA(3));()(BABA(4);BBAABABA(5));()()(),()()(BCACBACBCACBACSSSSSS二、典型例题例1.已知集合}33,)1(,2{22aaaaA，若A1，求a。例2.已知集合M＝012|2xaxRx中只含有一个元素，求a的值。例3.已知集合},01|{},06|{2axxBxxxA且BA，求a的值。\例4.已知方程02cbxx有两个不相等的实根x1，x2.设C＝{x1，x2}，A＝{1，3，5，7，9}，B＝{1，4，7，10}，若CBCCA,，试求b，c的值。例5.设集合}121|{},52|{mxmxBxxA，（1）若BA，求m的范围；（2）若ABA，求m的范围。例6.已知A＝{0，1}，B＝{x|xA}，用列举法表示集合B，并指出集合A与B的关系。三、练习题1.设集合M＝,24},17|{axx则（）A.MaB.MaC.a＝MD.aM2.有下列命题：①}{是空集②若NbNa,，则2ba③集合}012|{2xxx有两个元素④集合},100|{ZxNxxB为无限集，其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.33.下列集合中，表示同一集合的是（）A.M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B.M＝{3，2}，N＝{（2，3）}C.M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D.M＝{1，2}，N＝{2，1}4.设集合}12,4{},1,3,2{22aaaNaM，若}2{NM，则a的取值集合是（）A.}21,2,3{B.{－3}C.}21,3{D.{－3，2}5.设集合A＝{x|1x2}，B＝{x|xa}，且BA，则实数a的范围是（）A.2aB.2aC.1aD.1a6.设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}，B＝}1|),{(xyyx，则集合A，B的关系是（）A.ABB.BAC.A＝BD.AB7.已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N＝（）A.ΦB.MC.ND.R8.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则集合B＝_________________9.若AB},01|{},023|{22且aaxxxBxxxA，则a的值为_____10.若{1，2，3}A{1，2，3，4，5}，则A＝____________11.已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N表示相同的集合，求a，b的值12.已知集合B,A}02|{},04|{22且xxxBpxxxA求实数p的范围。13.已知}065|{},019|{222xxxBaaxxxA，且A，B满足下列三个条件：①BA②BBA③ΦBA，求实数a的值。四、练习题答案1.B2.A3.D4.C5.A6.B7.C8.{0，1，2}9.2，或310.{1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5}11.解：依题意，得：22bbaa或abba22，解得：00ba，或10ba，或2141ba结合集合元素的互异性，得10ba或2141ba。12.解：B＝{x|x－1，或x2}①若A＝Φ，即0416p，满足AB，此时4p②若A，要使AB，须使大根142p或小根242p（舍），解得：43p所以3p13.解：由已知条件求得B＝{2，3}，由BBA，知AB。而由①知BA，所以AB。又因为ΦBA，故A≠Φ，从而A＝{2}或{3}。当A＝{2}时，将x＝2代入01922aaxx，得019242aa53或a经检验，当a＝－3时，A＝{2，－5};当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。当A＝{3}时，将x＝3代入01922aaxx，得019392aa52或a经检验，当a＝－2时，A＝{3，－5};当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。综上所述，不存在实数a使集合A，B满足已知条件。函数定义域求法的总结和配套习题（1）分式中的分母不为零；（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零；（3）对数函数真数大于零；（4）幂零函数底数不为零抽象的一、已知()fx的定义域，求()fgx的定义域例1已知函数()fx的定义域为15，，求(35)fx的定义域．分析：该函数是由35ux和()fu构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于()fx与()fu是同一个函数，因此这里是已知15u≤≤，即1355x≤≤，求x的取值范围．解：()fx的定义域为15，，1355x≤≤，41033x≤≤．故函数(35)fx的定义域为41033，．二、已知()fgx的定义域，求()fx的定义域例2已知函数2(22)fxx的定义域为03，，求函数()fx的定义域．分析：令222uxx，则2(22)()fxxfu，由于()fu与()fx是同一函数，因此u的取值范围即为()fx的定义域．解：由03x≤≤，得21225xx≤≤．令222uxx，则2(22)()fxxfu，15u≤≤．故()fx的定义域为15，．三、运算型的抽象函数例３若()fx的定义域为35，，求()()(25)xfxfx的定义域．解：由()fx的定义域为35，，则()x必有353255xx，，≤≤≤≤解得40x≤≤．所以函数()x的定义域为40，．3、逆向型例5已知函数862mmxmxy的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明0862mmxmx，使一切Rx都成立，由2x项的系数是m，所以应分0m或0m进行讨论。解：当0m时，函数的定义域为R；当0m时，0862mmxmx是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是0)8(4)6(02mmmm10m综上可知10m。评注：不少学生容易忽略0m的情况，希望通过此例解决问题。例6已知函数347)(2kxkxkxxf的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须0342kxkx恒成立，因为)(xf的定义域为R，即0342kxkx无实数解①当0k时，034162kk恒成立，解得430k；②当0k时，方程左边03恒成立。综上k的取值范围是430k。1.若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为。2.已知函数2(22)fxx的定义域为03，，求函数()fx的定义域．3.已知函数的定义域为，则的定义域为________。4.函数定义域是，则的定义域是（）A.B.C.D.5.已知函数的定义域是，求的定义域。6.若函数f(x+1)的定义域为[－21，2]，求f(x2)的定义域．求函数的值域方法总结1、值域：函数Axxfy，)(，我们把函数值的集合}/)({Axxf称为函数的值域。2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。如：1.求函数x1y的值域。2.求函数x3y的值域。2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例1：求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。例2：]53(232，求函数xxxy的值域；3.函数单调性法例:.求函数)10x2(1xlog2y35x的值域。解：令1xlogy,2y325x1则21y,y在[2，10]上都是增函数所以21yyy在[2，10]上是增函数当x=2时，8112log2y33min当x=10时，339log2y35max故所求函数的值域为：33,81练习：求函数1x1xy的值域。4.判别式法形如域的函数用判别式法求值不同时为零，)(2122221121aacxbxacxbxay；例子：求函数22x1xx1y的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程0x)1y(x)1y(2（1）当1y时，Rx0)1y)(1y(4)1(2解得：23y21（2）当y=1时，0x，而23,211故函数的值域为23,21练习：求函数xxy1的值域；5、分离常数法形如)0(abaxdcxy的函数也可用此法求值域；例：求函数213xxy的值域；6.换元法形如常用换元法求值域的函数且为常数、、、)0(a，dcbadcxbaxy通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。形如常用换元法求值域的函数且为常数、、、)0(a，dcbadcxbaxy例子.求函数1xxy的值域。解：令t1x，)0t(则1tx2∵43)21t(1tty22又0t，由二次函数的性质可知当0t时，1ymin当0t时，y故函数的值域为),1[例3.求函数xxy142的值域7、数形结合法例：求函数的值域|4||1|xxy课后作业1．函数523xxy的值域是；．函数523xxy)0(x的值域是。2．函数y=-x(x+2)(x0)的反函数的定义域是。3．若函数)2(log221kkxxy的值域为R，则k的取值范围是（）A0k1B0k1Ck0或k1Dk=0或k14．若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m]，值域为]4,425[，则m的取值范围是（）A]4,0(B]4,23[C]3,23[D),23(5．求下列函数的值域：（1）11xxeey（2）xxy246．若函数23212xxy的定义域和值域都是[1,b](b1)，求b的值。7．已知函数f(x)=1-2ax-a2x(a1)。（1）求f(x)的值域。（2）若x[-2,1]时，函数的最小值为-7，求a及f(x)的最大值。指数与对数函数题型总结题型1指数幂、指数、对数的相关计算【例1】计算：353log1－232log4＋103lg3＋1252log.【例2】计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg8＋lg245；(2)lg25＋23lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.变式：1.计算下列各式的值：(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2)lg3＋25lg9＋35lg27－lg3lg81－lg27.2.计算下列各式的值：(1)lg2＋lg5－lg8lg5－lg4；(2)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg23)2＋lg16＋lg0.06.题型2指数与对数函数的概念【例1】若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________