第二学期高数(下)期末考试试卷及答案

..第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、填空题(每空3分，共15分)1.设220txFxedt，则Fx22xxe.2.曲面sincoszxy在点,,1442处的切平面方程是210xyz.3.交换累次积分的次序：,2302xxdxfxydy.4.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成,则：使得格林公式：DLQPdxdyPdxQdyxy成立的充分条件是：,,和在D上具有一阶连续偏导数PxyQxy.其中L是D的取正向曲线;5.级数1113nnnn的收敛域是,33.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.当0x，0y时,函数2423xyxy的极限是DA.等于0;B.等于13;C.等于14;D.不存在.2.函数,zfxy在点,00xy处具有偏导数,00xfxy，,00yfxy是函数在该点可微分的CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D.既非充分又非必要条件...3.设cossinxzeyxy，则10xydzBA.e;B.edxdy;C.1edxdy;D.xedxdy.4.若级数11nnnax在1x处收敛,则此级数在2x处AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.5.微分方程3691xyyyxe的特解y应设为DA.3xae;B.3xaxbe;C.3xxaxbe;D.23xxaxbe.三.（8分）设一平面通过点,,312,而且通过直线43521xyz,求该平面方程.解：,,,,,312430AB,,142AB平行该平面该平面的法向量,,,,,,5211428922n所求的平面方程为：83912220xyz即：8922590xyz四.（8分）设,yzfxye,其中,fuv具有二阶连续偏导数,试求zx和2zxy.解：令uxy，yve五.（8分）计算对弧长的曲线积分22xyLeds..其中L是圆周222xyR与直线,00xy在第一象限所围区域的边界.解：123LLLL其中：1L：,22200xyRxy2L：00xyR3L：00yxR而Re221202xyRRLedseRdt故：Re22212xyRRLedse六、（8分）计算对面积的曲面积分423zxydS,其中为平面1234xyz在第一卦限中的部分.解：xyD：023032xyx226113xyzz3232004614613xdxdy,七.（8分）将函数2143fxxx,展开成x的幂级数.解：111111121321613fxxxxx,而01111212nnnxx,,11..01116313nnnnxx,,3310111123nnnnfxx,,11八.（8分）求微分方程：42322253330xxyydxxyxyydy的通解.解：263PQxyyyx,原方程为：通解为：532231332xyxyyxC九.幂级数：!!!!246212462nxxxxyxn1.试写出yxyx的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数!202nnxn的和函数.（8分）解：1、!!!35213521nxxxyxxn,于是!!23123xxxyxyxxe,2、令：!202nnxSxn由1知：xSxSxe且满足：01S通解：12xxxxxSxeCeedxCee..由01S，得：12C；故：12xxSxee十.设函数ft在,0上连续,且满足条件其中t是由曲线20ztyx,绕z轴旋转一周而成的曲面与平面zt(参数0t)所围成的空间区域。1、将三重积分22tfxydv写成累次积分的形式;（3分）2、试求函数ft的表达式.（7分）解：1、旋转曲面方程为：22ztxy由22ztxyzt，得：221xy故t在xoy面的投影区域为：xyD：221xy2、由1得：记：1201Afd则：2121fttAtt两边乘以：21tt，再在,01上积分得：解得：1544A故：2115221ftttt第二学期期末高数（下）考试试卷及答案2三、填空题(每空3分，共15分)..1.曲线20zyx，绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程是221zxy.2.曲线2111xyzy在点,,1212处的法平面方程是281610xyz.3.设22zfxy,其中fu具有二阶连续导数,且13f，12f,则2210xyzx14.4.级数121nnnn，当满足不等式12时收敛.5.级数112nnnxn的收敛域是,13.四、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设a与b为非零向量,则0ab是AA.//ab的充要条件;B.ab的充要条件;C.ab的充要条件;D.//ab的必要但非充分条件.2.平面3360xy的位置是BA.垂直于z轴;B.平行于z轴;C.平行于xoy面;D.通过z轴.3.设函数,0010当时当时xyfxyxy，..则下列说法正确的是CA.lim,00xyfxy存在且,fxy在点,00处的两个偏导数也存在;B.lim,00xyfxy存在但,fxy在点,00处的两个偏导数不存在;C.lim,00xyfxy不存在但,fxy在点,00处的两个偏导数存在;D.lim,00xyfxy不存在且,fxy在点,00处的两个偏导数也不存在;4.曲线L为圆周cossin33xtyt02t,则22nLxyds等于AA.2123n;B.19n;C.63n;D.211321nn.5.设正项级数1nnu收敛，则必有DA.lim11nnnuu;B.lim1nnnu;C.lim0nnuc;D.lim0nnu.三.（8分）在平面1xyz上求一直线，使得它与直线11yz垂直相交。..解：方法1：直线11yz的方向向量为,,100它与平面1xyz的交点为,,111所求直线通过这一点，所求直线的方向向量为：故所求的直线方程为：111011xyz方法2：直线11yz的方向向量为,,100它与平面1xyz的交点为,,111所求直线通过这一点，过交点,,111且与直线11yz垂直的平面方程为：即：1x故所求的直线方程为：11xyzx或：01yzx四.（8分）设(,)zzxy是由方程330zxzy所确定的隐函数,求:01xyzx，01xyzy和201xyzxy，解：设,,32Fxyzzxzy，则：2xFz，1yF，..232zFzx，当0x，1y时1z，()2001122332xxyyzzxzx，()2001111332xxyyzyzx，()()22230011642932xxyyzzxxyzx，五.（8分）计算曲线积分2221yyLxedxxeydy其中L为从,00O经2224xy的上半圆到,22A的一弧段。解：由22yPQxeyx知与路经无关。取,20B，作新路经OBA折线，于是：2221yyLxedxxeydy六、（8分）利用高斯公式计算曲面积分222xzdydzxydzdxyzdxdy,其中为球面：2222xyza的上半部分的上侧.解：作0：0z取下侧.则222xzdydzxydzdxyzdxdy00而0222zxydv..故：222xzdydzxydzdxyzdxdy00525a七.（8分）将函数2143fxxx,展开成1x的幂级数.解：111213fxxx而：01111142412nnnnxx13x八.（8分）求微分方程：4xyyxe的通解.解：21210.1,1.rrr1是特征方程的单根,所以设*.xyxAxBe代入原方程得:1,1.*1.xAByxxe故原方程的通解为:212.xxxyCeCexxe九.（12分）求由曲面22zxy和226zxy所围成立体的体积.解：：222260202xyxyzxyD十.（10分）设yfx是第一象限内连接点,01A，,10B的一段连续曲线，,Mxy为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为..6163x。试建立fx所满足的微分方程，并求fx的表达式。解：梯形OCMA的面积为：112xfx曲边三角形CBM的面积为：1xftdt根据题意得：31111263xxxfxftdt两边关于x求导得：即：211xfxfxxx故：112211dxdxxxxfxeedxCxCxx由：10f，得：2C，故：21fxx第二学期高数（下）期末考试试卷及答案3一、填空题(每空3分，共15分)1.已知向量1,1,4a,3,4,0b,则以a,b为边的平行四边形的面积等于449.2.曲面sincoszxy在点1,,442处的切平面方程是210xyz.3.交换积分次序220,xdxfxydy200,ydyfxydx.4.对于级数11nna（a＞0），当a满足条件1a时收敛.5.函数12yx展开成x的幂级数..为10222nnnxx.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.平面20xz的位置是（A）（A）通过y轴（B）通过x轴（C）垂直于y轴（D）平行于xoz平面2.函数,zfxy在点00,xy处具有偏导数00,xfxy，00,yfxy,是函数在该点可微分的（C）（A）充要条件（B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件3.设cossinxzeyxy，则10xydz（B）（A）e（B）()edxdy（C）1()edxdy（D）()xedxdy4.若级数11nnnax在1x处收敛，则此级数在2x处（D）（A）敛散性不确定（B）