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小学同步及奥数—简便计算方法总结1卓立教育-小学数学简便计算方法总结一、拆分法：为了方便计算或能使计算变得简便，在进行计算时，会将某些数字拆分开来再进行重新组合，这样的方法叫拆分法。例题1：101＋75=（100＋1）＋75=100＋75＋1=176例题2：125×32=125×8×4=1000×4=4000例题3：999×999＋1999=999×999＋（1000＋999）【将1999拆分】=999×999＋999＋1000去括号，并使用交换律交换位置=999×999＋999×1＋1000为使用乘法分配律，故将原式变形，给拆分出来的999乘以1=999（999＋1）＋1000使用乘法分配律，提取999=999000＋1000=1000000例题4：33333×66666＋99999×77778此题数字中最为特殊的是77778，我们发现这个数字加上22222正好等于100000，所以最好能从其他数字中拆分出来22222。经过观察，我们发现只有66666可以拆出，所以将66666拆分成22222×3。原式=33333×3×22222＋99999×77778=99999×22222＋99999×77778=99999（22222＋77778）=9999900000例题5：13000÷125=13×1000÷125=13×8=104例题6：19881988÷20002000=1988×10001÷2000×10001=1998÷2000，即19982000二、归零法：为了方便计算或能使计算变得简便，在进行计算时，要在计算式中加上一个数再减去同一个数的方法叫归零法。（即等于加了个“0”，所以叫归零法）例题1：12＋14＋18＋116＋132＋164＋1128=12＋14＋18＋116＋132＋164＋1128＋1128－1128在上式中，我们加了一个1128又减去了一个1128，等于没加没减。这样一来，除最后一项之外，每一项与前一项相加就会等于前一项。则：=1－1128=127128三、凑整法：为了方便计算或能使计算变得简便，在进行计算时，要通过“凑”的方式让计算式中出现整百、整千、整万等数字。例题：99999＋9999＋999＋99＋9=（99999＋1）＋（9999＋1）＋（999＋1）＋（99＋1）＋（9＋1）－5（加了5个1，所以减去5）=100000＋10000＋1000＋100＋10－5=111110—5=111105小学同步及奥数—简便计算方法总结2四、代入法：为了方便计算或能使计算变得简便，在进行计算时，把一些相同项用字母代替的方法。例题：﹙12＋13＋14﹚×﹙13＋14＋15﹚－﹙12＋13＋14＋15﹚×﹙13＋14﹚计算式共由4个项组成，仔细观察我们可以发现，每一项中都有13＋14，我们就可以设13＋14=a，则原式就可以变换为：（12＋a）×（a＋15）－﹙12＋a＋15﹚×a=12a＋110＋𝑎2＋15a－12a－𝑎2－15a（相同加项和减项相抵消）=110五、通分与约分：为了方便计算或能使计算变得简便，在进行计算时，巧妙运用通分（找最小公倍数）和约分（找最大公约数）。例题：77÷859＋1115×10＋129×944第一步，带分数变假分数=77÷779＋565×10＋119×944=77×977＋565×10＋119×944交叉约分=9＋2×56＋14=12114六、倒数法：即“除以一个数，等于乘以这个数的倒数”。例题：﹙0.75＋0.19﹚÷14×250%除以14等于乘以4=0.94×4×2.5=0.94×10=9.4七、运算定律及法则：即运用各类运算定律及法则使计算变的简便的方法（选取常见、常用的几个，举例说明）。（1）乘法分配律a×（b＋c）=ac＋bc概念记忆：一个数乘以两个数的和，等于这个数分别与这两个数相乘之后的和（或：两个数分别与第三个数相乘之后的和，等于这两个数的和乘以第三个数）例题1：777÷777777778首先，带分数变假分数，只变换不计算结果=777÷777×778＋777778为了出现乘法分配律，给最后一个777乘以1=777÷777×778＋777×1778=777÷777×（778＋1）778小学同步及奥数—简便计算方法总结3倒数法变换=777×778777×（778＋1）（777与777相约分）约分=778779例题2：33333×66666＋99999×77778此题数字中最为特殊的是77778，我们发现这个数字加上22222正好等于100000，所以最好能从其他数字中拆分出来22222。经过观察，我们发现只有66666可以拆出，所以将66666拆分成22222×3。原式=33333×3×22222＋99999×77778=99999×22222＋99999×77778可以使用乘法分配律=99999（22222＋77778）乘法分配律=9999900000（2）乘法交换律a＋b=b＋a概念记忆：两个数或多个数连续相加，交换加数的位置相加，和不变。如：125+83+75+17=125+75+83+17=300（3）乘、除法交换律12.6×7.6×2.32÷1.9÷1.4÷2.9=12.6÷1.4×7.6÷1.9×2.32÷2.9=9×4×0.8=28.8（4）减法性质a-b-c=a-（b+c）概念记忆：一个数连续减去几个数，等于这个数减去后几个数的和。（5）除法性质a÷b÷c=a÷（b×c）概念记忆：一个数连续除以几个数，等于这个数除以后几个数的积。（6）乘、除法运算性质A：乘法：两个因数相乘，其中一个因素扩大若干倍，要想使积不变，另外一个因数就应该缩小相同的倍数（记忆方法：乘法，你扩我缩）例题：34.5×76.5－345×6.42－123×3.45将上式中34.5、345、3.45全部变化成34.5=34.5×76.5－34.5×64.2－12.3×34.5使用乘法分配律提取34.5=34.5×（76.5－64.2－12.3）=34.5×0=0B：除法：两个数相除，被除数缩小若干倍，要想使商不变，除数也应该缩小相同的倍数；两个数相除，除数缩小若干倍，要想使商不变，被除数也应该缩小相同的倍数；（记忆方法：除法，你缩我也缩）例题：略（7）完全平方和公式：（a＋b）×（a＋b）=𝑎2＋2ab＋𝑏2概念记忆：两个数和的平方，等于这两个数的平方和加上他们乘积的2倍。例题：（75+4）×（75+4）=752＋4×75×2＋42=5625+600+16=6241（8）完全平方差公式：（a－b）×（a－b）=a2－2ab＋b2概念记忆：两个数和的平方，等于这两个数的平方和减去他们乘积的2倍。小学同步及奥数—简便计算方法总结4例题：（75-4）×（75-4）=752－4×75×2＋42=5625-600+16=6041（9）平方差公式：（a＋b）×（a－b）=a2-b2概念记忆：两个数的和乘以他们的积，等于这两个数的平方的差。例题1：71×79=（75-4）×（75+4）=752-42=5625-16=5609例题2：20142－20132＋999×274＋6274=（2014+2013）×（2014－2013）+999×274+6274=4027+999×274+6000+274=4027+999×274+274×1+6000=4027+274×（999+1）+6000=4027+274000+6000=284027八、数字关系：运用数字之间的关系而使计算变简单的方法，需要牢记。（1）125和8、25和4等等（2）18和0.125、28和0.25、38和0.375、48和0.5、58和0.625、68和0.75、78和0.875、88和1九、裂项法：裂项法在近年的小升初考题中出现次数较为频繁，题型难度不一。对初学的同学来说容易产生畏惧心理，但是只要了解此种题型的特点及解题思路，再结合一定量的练习，还是可以掌握的。先看一道最基础的裂项法题目：例1、1111111111223344556677889910从这道题目我们可以总结出裂项法题目的基本特点，主要如下：1、分数加法题（也有少量变形为分数减法或加减混合计算）；2、不易通分；3、分母为有规律的乘法或乘积的形式。（比如此题也可以表现为：1111111112612203042567290，就更为隐蔽一些）如果能在各种各样的计算题中准确的识别出这种题型，就可以优先考虑使用裂项法进行计算，不仅能少走弯路，也可以增强信心。【解题思路】此题的右侧可以向右无限延伸，比如可以一直加到120072008，这样，如果不能通过各加数之间的相互约减，很难进行计算，所以可以进行拆分裂项，制造减法。以134为例：14343113434343434，将各项都进行类似的处理，可以得到如下算式：1111111111111111111223344556677889910，加减消去后剩下：1911010。例2、1111112558811111414171720解：仿照上例，将125拆分为5225，但注意到分数值实际上扩大了3倍。可以给每个分数乘以13，我们把这一步叫做调整系数．．．．。原式=1111111(...)325581720=1113()322020。由此可知，当分母的乘法不是连续自然数相乘的形式时，通过调整系数，我们一样可以进行裂项法的计算。例3、15111989109...26122090110小学同步及奥数—简便计算方法总结5这道题看上去和前面两题区别较大，但实际上，每个分数都可以改写成1mn的形式。只要抓住原式为分数加法、不易通分、分母为有规律的乘积这几大特点。最终还是确信可以通过裂项法解决问题。解：原式=111111111...1261220110=11111110...261220110=111110(...)2612110现在题目又回到了前面提到的最基础的题型了吧！例4、111...1232349899100这是一道分母有3个乘数的分数加法题，对照前面所说的三大特点，它是不是全都符合呢？但是我们怎么样去拆分它呢？显然组成分子的减法算式中，被减数和减数都应该来自下面的乘数中，不然就得不到形如1n的单位分数，但对于1123来说，2－1，3－1，3－2似乎都符合条件，该如何选择呢？经过试验可知只有选择3－1的拆分方法，并调整系数，才能保证前后拆分项之间的连贯性．．．。解：原式=1314210098(...)21232349899100=1314210098(...)2123123234234989910098991001111111(...)212232334989999100111()21299100=494919800例5、1+211+3211+43211+……+11234...1000=分析：这道题目似，不属于裂项法的范畴，因为似乎分母不是乘积的形式。而是一系列的连续自然数的和。但联想到等差数列的求和公式，112(14)41234452，你会惊奇的发现，题目又变成了裂项法！而这次的系数调整同样特别，只需要将分子中的2提取出来就行了。解：原式=1+2)21(2+3)31(2+4)41(2+……+1000)10001(2=2222...12233410001001=2×(1－21+21－31+31－41+……+10001－10011)=2×(1－10011)=11001999十、其他简便计算方法：（1）同头尾合十每一个算式的两个乘数的十位上的数字相同，且两个乘数的个位上的数字之和是10，我们把这类算式称为“同头尾合十”，如42