高考数学综合试卷

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．综合检测(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果复数z＝2－1＋i，则()A．|z|＝2B．z的实部为1C．z的虚部为－1D．z的共轭复数为1＋i2．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则Tn＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1的结果为()A．1－14nB．1－12nC.231－14nD.231－12n3．已知研究x与y之间关系的一组数据如下表所示，则y对x的回归直线方程y^＝b^x＋a^必过点()X0123Y1357A.(1,2)B.32，0C．(2,2)D.32，44．设M是△ABC边BC上任意一点，且2AN→＝NM→，若AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为()A.14B.13C.12D．15．下面图(1)是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1、A2、…、A16，图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是()图(1)图(2)A．6B．10C．91D．926．某同学在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……，若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2015个三角形中共有▲的个数是()A．64B．63C．62D．617．已知集合x，y2x＋y－4≤0x＋y≥0x－y≥0表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x，y)，则点P的坐标满足不等式x2＋y2≤2的概率为()A.π32B.3π16C.π16D.3π328．已知函数f(x)＝ex＋x，对于曲线y＝f(x)上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是()A．①③B．①④C．②③D．②④9．设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线于A、B、C、D四点，则|F1A|＋|F1B|＋|F1C|＋|F1D|等于()A．43B．23C.3D.3210．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N(110,102)，若P(100≤ξ≤110)＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为()A．10B．9C．8D．711．设n＝ʃπ204sinxdx，则二项式(x－1x)n的展开式的常数项是()A．12B．6C．4D．112．已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围是()A.55，1B.22，1C.0，55D.0，22二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝2016|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．14．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f(x)＝x3－32x2＋12x＋1，则f12016＋f22016＋…＋f20152016＝________.15．已知集合M＝N＝{0,1,2,3}，定义函数f：M→N，且点A(0，f(0))，B(i，f(i))，C(i＋1，f(i＋1))(其中i＝1,2)．若△ABC的内切圆圆心为I，且IA→＋IC→＝λIB→(λ∈R)，则满足条件的△ABC有________个．16．以下给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中ω0，φ∈－π2，π2(1)求ω与φ的值；(2)若fα4＝455，求2sinα－sin2α2sinα＋sin2α的值．18．(12分)已知函数f(x)＝ax－ln(1＋x2)．(1)当a＝45时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的极值；(2)证明：当x0时，ln(1＋x2)x；(3)证明：1＋1241＋134…1＋1n4e(n∈N*，n≥2，e为自然对数的底数)．19.(12分)如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2.又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°.(1)求证：PC⊥AC；(2)求二面角M—AC—B的余弦值；(3)求点B到平面MAC的距离．20．(12分)某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1,2,3,4,5,6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ5的为二等品，ξ3的为三等品．若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：131163341241253126316121225345(1)以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产的产品为一等品、二等品和三等品的概率；(2)已知该厂生产一件产品的利润y(单位：元)与产品的等级系数ξ的关系式为y＝1，ξ3，2，3≤ξ5，4，ξ≥5若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z，求Z的分布列和均值．21.(12分)已知数列{an}，其前n项和是Sn且Sn＋12an＝1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3(1－Sn＋1)(n∈N*)，求使方程1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1＝2551成立的正整数n的值．22．(12分)焦点分别为F1，F2的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点M(2,1)，且△MF2F1的面积为3.(1)求椭圆C的方程；(2)过点(0,3)作直线l，直线l交椭圆C于不同的两点A，B，求直线l倾斜角θ的取值范围；(3)在(2)的条件下，使得|MA|＝|MB|成立的直线l是否存在？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．综合检测(一)1．C2．C[依题意，知an＝2n－1，1anan＋1＝12n－1·2n＝122n－1＝12×14n－1，所以Tn＝121－14n1－14＝231－14n，选C.]3．D[由题可知，y对x的回归直线方程y^＝b^x＋a^必过定点(x，y)，由表格可知，x＝1＋2＋34＝32，y＝1＋3＋5＋74＝4，所以y^＝b^x＋a^必过点32，4.]4．B[因为M是△ABC边BC上任意一点，设AM→＝mAB→＋nAC→，且m＋n＝1，又AN→＝13AM→＝13(mAB→＋nAC→)＝λAB→＋μAC→，所以λ＋μ＝13(m＋n)＝13.]5．B[由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.故选B.]6．C[前n个▲中所包含的所有三角形的个数是1＋2＋3＋…＋n＋n＝nn＋32，由nn＋32＝2015，解得n＝62.]7．D[满足不等式组的区域如图△ABO内部(含边界)，由于直线y＝x与y＝－x垂直，△ABO与圆x2＋y2＝2的公共部分如图阴影部分是14圆，则点P落在圆x2＋y2≤2内的概率为P＝S扇形S△ABO＝14×2π12×2×43＋4＝3π32.]8．B[由于函数f(x)＝ex＋x，对于曲线y＝f(x)上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，且横坐标依次增大．由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．可得出角∠ABC一定是钝角，故①对，②错．由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出ABBC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③错，④对．]9．A[依题意，设题中的双曲线方程是x2－y2＝1，不妨设点A、B、C、D依次位于第一、二、三、四象限，则有|AF1|－|AF2|＝2，|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝8，由此解得|AF1|＝3＋1，|AF2|＝3－1，同理|DF1|＝|AF1|＝3＋1，|CF1|＝|BF1|＝|AF2|＝3－1，|AF1|＋|BF1|＋|CF1|＋|DF1|＝43，选A.]10．B[∵考试的成绩ξ服从正态分布N(110,102)．∴考试的成绩ξ关于ξ＝110对称，∵P(100≤ξ≤110)＝0.35，∴P(ξ≥120)＝P(ξ≤100)＝12(1－0.35×2)＝0.15，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.15×60＝9.]11．B[由定积分得n＝－4cosx|π20＝4，二项式的通项公式为Tr＋1＝Cr4x4－r(－1x)r＝Cr4(－1)rx4－2r，由4－2r＝0，得r＝2，所以常数项为T3＝C24(－1)2＝6，故选B.]12．B[设P(x，y)，PF1→＝(－c－x，－y)，PF2→＝(c－x，－y)，由PF1⊥PF2，得PF1→⊥PF2→＝0，即(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2＋y2－c2＝x2＋b21－x2a2－c2＝c2x2a2＋b2－c2＝0，∴x2＝a2c2－b2c2≥0，∴c2－b2≥0，∴2c2≥a2，∴e≥22.又∵e1，∴椭圆的离心率e的取值范围是22，1.]13.20172015解析由题意得|PF1|＋|PF2|≥2c，|PF1|－|PF2|＝2a，e≤|PF1|＋|PF2||PF1|－|PF2|＝2017|PF2|2015|PF2|＝20172015.14．2015解析由f(x)＝x3－32x2＋12x＋1，得f′(x)＝3x2－3x＋12，∴f″(x)＝6x－3，由f″(x)＝6x－3＝0，得x＝12，又f12＝1，∴f(x)的对称中心为12，1，∴f(1－x)＋f(x)＝2，∴f12016＋f20152016＝f22016＋f20142016＝…＝f10072016＋f10092016＝f10082016＋f10082016＝2∴f12016＋f22016＋…＋f20152016＝2×1007＋1＝2015.15．18解析由IA→＋IC→＝λIB→(λ∈R)知△ABC是以B为顶点的等腰三角形，A点是4×4的格点中第一列的点．当i＝1时，B点是第二列格点中的点，C点是第三列格点中的点，此时腰长为2，5，10的△ABC分别有6个、4个、2个，当i＝2时，B点是第三列格点中的点，C点是第四列格点中的点，此时腰长为5的△ABC有6个，如图，△ABC为其中的一个．综上，满足条件的△ABC共有18个．16．i≤10?解析这是一个循环结构，s＝0，n＝2，i＝1，其中变量i是计数变量，它应使循环体执行10次，因此条件应是i≤10？.17．解(1)f(x)＝2sin(ωx＋φ＋π3)．设f(x)的最小正周期为T.由图象可得T2＝π4－－π4＝π2，所以T＝π，ω＝2.由f(0)＝2，得sinφ＋π3＝1，因为φ∈－π2，π2，所以