1.3-标量场的梯度

21:38:241对于一个标量场除了了解标量场u的总体分布情况，还要讨论其等值面随空间的变化。一、方向导数1.方向导数的定义等值面沿某一给定方向l0的变化率，称为该标量场沿l0方向的方向导数。例：温度场21:38:24110C20C30C0CL1100米80米L2200米L31.3标量场的梯度210C20C30C0CL1100米80米L2200米L3L1：（每米的温度变化为）（0C--30C）/100m=-3/10C/mL2：（每米的温度变化为）（0C--30C）/200m=-3/20C/mL3：（每米的温度变化为）（0C--30C）/80m=-3/8C/m同一个温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不同：L1的方向导数为-3/10L2的方向导数为-3/20L3的方向导数为-3/821:38:2421:38:243方向导数的物理意义00()MuuMMll|是标量场在点处沿方向对距离的变化率001)MuuMll|0，标量场在点沿方向是增加的；002)MuuMll|0，标量场在点沿方向是减小的；003)MuuMll|=0，标量场在点沿方向无变化。000()()limlMuMuMullM0Mll()ur方向导数与选取的考察方向有关。若M0为标量场u(M)中的一点，标量场u(M)在点M0处沿l方向的方向导数为1.3标量场的梯度4uuuucoscoscoslxyz2.方向导数的计算公式lzzulyyulxxulul设方向的方向余弦是，即cos,cos,coscosxlcosylcoszl则方向导数的计算公式为设一个标量函数u(x,y,z)，若函数u在点P可微，则u在点P沿任意方向l的方向导数为21:38:241.3标量场的梯度5二、标量场的梯度标量场在什么方向上变化率最大？其最大的变化率是多少？1.梯度的概念梯度标量场u沿指定方向的变化率就是标量场在该方向的方向导数coscoscosuuuulxyz()(coscoscos)xyzxyzuuueeeeeexyzle?1.3标量场的梯度21:38:241.3标量场的梯度()(coscoscos)xyzxyzuuuueeeeeelxyz()xyzeeexyz哈密顿算符既具有矢量性质，又具有微分性质矢量——服从矢量运算的规则;算子——代表一种微分运算，服从微分运算规则;1)▽本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量函数时才代表一种运算。2）只对它后边的量起运算作用。不能随便交换▽的位置。AuA21:38:2561.3标量场的梯度7zueyuexueuzyx||1le()xyzeeexyzlegradulu||||coslgradue标量场u的梯度，用表示graduugradu()(coscoscos)xyzxyzuuuueeeeeelxyz梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。maxldugraduuedl式中：是场量u变化率最大的方向上的单位矢量。le||cosugradul标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影8梯度的性质等温线分布标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数直角坐标系中xyzuuugraduueeexyz（记住）柱坐标系中1zuuugraduueeez球坐标系中11sinruuugraduueeerrr21:38:2591)0()CC为常数2)()CuCu3)()uvuv4)()uvuvvu5)()()FuFuu216)()()uvuuvvv2.梯度的基本运算公式7)(,)FFFuvuvuv3.梯度的重要性质0u式中：为常数；为坐标变量函数；C,uv21:38:251.3标量场的梯度10例1三维高度场的梯度1.3标量场的梯度21:38:251.3标量场的梯度21:38:2511高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。例2电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位减小的方向。1.3标量场的梯度21:38:251213xyzor源点场点Rr(,,)xyzr或场所在的空间位置点称为场点，记为产生场的场源所在的空间位置点称为源点，记为(,,)xyzr或Rrr源点到场点的距离为从源点指向场点的矢量为||Rrr11,,,,(),()RRfRfRRR例3求,,,,xyzxyz表示对（）运算,表示对（）运算。222||()()()RrrxxyyzzxyzRRRReeexyz21:38:2514RxxxRRyyyRRzzzRRRRRRR1R33||RrrRrr33||1rrrrRRRRRdRdfRdRdfRRfRf)()(RRdRdfRdRdfRRfRf)()(222)()()(||zzyyxxrrR1.3标量场的梯度21:38:25ReRe21RR解(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为(1,1,1)(22)22xyzxyzxyeeeeee22()()xyzPPxyzyxze+e+e例4设一标量函数描述了空间标量场。试求：(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；(2)求该函数沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。cos60cos45cos60lxyzeeee22(,,)xyzxyz21:38:2515表征其方向的单位矢量222(1,1,1)22221333(2)(2)(1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为211(22)()222122lxyzxyzeexeyeeeelxy对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)1221222Pxyl21:38:251617而该点的梯度值为222(1,1,1)(2)(2)(1)3Pxy显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。PPPl21:38:25