弹性力学逆解法和半逆解法多项式解法

第二章平面应力问题和平面应变问题第三节位移分量的求出第四节简支梁受均布荷载第五节楔形体受重力和液体压力例题第一节逆解法与半逆解法多项式解答第二节矩形梁的纯弯曲第三章平面问题的直角坐标解答§3－1逆解法和半逆解法多项式解法1.当体力为常量，按应力函数求解平面应力问题时，应满足按求解Φ40.(a)ΦS,.(b)xyxxyxyysslmfmlfΦΦ⑶多连体中的位移单值条件。(c)⑵S=上应力边界条件,⑴A内相容方程第三章平面问题的直角坐标解答对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。由求应力的公式是Φ,22xfyΦσxx,22yfxΦσyy.2yxΦτxy(d)第三章平面问题的直角坐标解答2.逆解法──先满足(a),再满足(b)。步骤:04Φ;Φ.)()(,sxyyysxyxxlτmσfmτlσf(e)逆解法;,,xyyxσσ⑴先找出满足的解⑶在给定边界形状S下，由式(b)反推出各边界上的面力，⑵代入(d),求出第三章平面问题的直角坐标解答从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述和应力。Φ逆解法逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。第三章平面问题的直角坐标解答例2二次式，分别表示常量的应力和边界面力。如图示。例1一次式对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数加减一次式，不影响应力。Φaxbyc22cybxyaxΦ逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第三章平面问题的直角坐标解答⑶代入，解出；3.半逆解法步骤：04ΦΦΦ半逆解法⑵由应力(d)式，推测的函数形式；⑴假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；第三章平面问题的直角坐标解答⑷由式（d），求出应力；半逆解法⑸校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。第三章平面问题的直角坐标解答思考题半逆解法1.在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的？2.试比较逆解法和半逆解法的区别。第三章平面问题的直角坐标解答§3-2矩形梁的纯弯曲梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。问题提出h/2h/2lyx(lh)oMM第三章平面问题的直角坐标解答⑴由逆解法得出，可取，且满足⑵求应力.04Φ,6ayσx.0xyyσ3ayΦ(a)求解步骤：04Φ本题是平面应力问题,且为单连体，若按求解，应满足相容方程及上的应力边界条件。ΦΦss第三章平面问题的直角坐标解答⑶检验应力边界条件，原则是:边界条件b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。第三章平面问题的直角坐标解答主要边界,2/hy,0)(2/hyyσ/2()0.(b)xyyh从式(a)可见，边界条件(b)均满足。,0)(,0lxxy满足。主要边界次要边界x=0,l,(c)的边界条件无法精确满足。xσ第三章平面问题的直角坐标解答次要边界/20,/2/20,/2()d10,(d)()d1hxxlhhxxlhσyσyyM。用两个积分的条件代替第三章平面问题的直角坐标解答当时，即使在边界上面力不同于的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出。3/2hMa最终得应力解,123yIMyhMσx(e)hllx,0xσ.0xyyσ第三章平面问题的直角坐标解答如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。思考题第三章平面问题的直角坐标解答§3-3位移分量的求出在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？以纯弯曲问题为例，已知,yIMσx,0xyyσ试求解其位移。问题提出第三章平面问题的直角坐标解答1.由物理方程求形变。0)1(2,)(1,)(1xyxyxyyyxxEyEIMσσEyEIMσσE求形变第三章平面问题的直角坐标解答2.代入几何方程求位移,(a),(b)0()xyxyuMyxEIvMyyEIvucxy。求位移第三章平面问题的直角坐标解答⑴对式(a)两边乘积分,xd),(1yfxyEIMu⑵对式(b)两边乘积分,yd。)(222xfyEIMv求位移第三章平面问题的直角坐标解答⑶再代入(c),并分开变量，21d()d()()ddfxfyMxEIxy。上式对任意的x,y都必须成立，故两边都必须为同一常量。求位移第三章平面问题的直角坐标解答由此解出10220(),().2fyyuMfxxxvEI求位移0220,22MuxyyuEIMMvyxxvEIEI。得出位移为3.待定的刚体位移分量，00,vu.须由边界约束条件来确定。第三章平面问题的直角坐标解答2.代入几何方程，积分求；归纳：从应力求位移步骤：vu,00,,uv。3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量1.由物理方程求出形变；第三章平面问题的直角坐标解答2.铅直线的转角故在任一截面x处，平面截面假设成立。纯弯曲问题的讨论：1.弯应力与材料力学的解相同。xσ,uMxyEI3.纵向纤维的曲率同材料力学的结果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力学解相同。EIMxv221第三章平面问题的直角坐标解答思考题2.试证明刚体位移实际上表示弹性体中原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以验证。提示：微分体的转动分量为00,,uv。yuxvw211.弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学的解答在应力、形变等方面完全一致。由此是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截面假设成立？第三章平面问题的直角坐标解答§3-4简支梁受均布荷载简支梁，受均布荷载及两端支撑反力。12hlq。ql问题qqlqlyxollh/2h/2第三章平面问题的直角坐标解答21()(),2xσMqlxqlx2123()()();xσxfyxfyfy(),xysFqlqlx12()();xyxfyfy,yσq常数()yσfy。现采用此假设。半逆解法按半逆解法求解。⑴假设应力分量。由材料力学,,,xsyσMτFσq因为因为所以，可假设所以，可假设因为所以，可假设第三章平面问题的直角坐标解答⑵由应力分量推出应力函数的形式。由),(22yfσxΦy对x积分，),()(1yfyxfxΦ212()()().2xΦfyxfyfy对x再积分，(a)半逆解法第三章平面问题的直角坐标解答⑶将代入相容方程，求解:.0)d)(d2d)(d(d)(dd)(d2122424414244yyfyyfxyyfxyyf相容方程对于任何均应满足,故yx,012,,xxx的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。ΦΦ半逆解法第三章平面问题的直角坐标解答.610,,2345223123KyHyyByAfGyFyEyfDcyByAyf式(b)中已略去对于的一次式。将式(b)代入式(a)，即得。ΦΦ(b)半逆解法解出:第三章平面问题的直角坐标解答对称性条件─由于结构和荷载对称于轴，故应为的偶函数，为x的奇函数，故。⑷由求应力。yyxσσ,xxy0GFEΦ,Φ半逆解法在无体力下，应力公式如书中式(f),(g),(h)所示。第三章平面问题的直角坐标解答⑸考察边界条件。.0)(,)(,0)(2/2/2/hyxyhyyhyyτqσσ由此解出系数A,B,C,D。主要边界,02/hy主要边界第三章平面问题的直角坐标解答次要边界。qldyydyσdyσhhlxxylxhhxlxhhx1)(,01)(,01)(2/2/2/2/2/2/次要边界由此解出H，K.另一次要边界(x=-l)的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件，,lx第三章平面问题的直角坐标解答最后应力解答：)534()(622223hyhyqyxlhqσx),534(22hyhyqyIM应力,)4(6223bISFyhxhqSxy.)21)(1(22hyhyqσy第三章平面问题的直角坐标解答应力的量级当时,x~l同阶，y~h同阶.hlxσ第一项同阶,（与材料力学解同）;2)(~hlq第二项同阶,（弹性力学的修正项）q~xy)(~hlq同阶,（与材料力学解同）应力的量级yσq~同阶,（材料力学中不计）第三章平面问题的直角坐标解答当时,量级的值很小,可以不计。应力与材料力学解比较:最主要量级,和次要量级,在材料力学中均已反映，且与弹性力学相同。2)(hlqhlq最小量级~,在材料力学中没有。q当时,仅占主项的1/15(6%),hlyIMhlq应力比较xσ223(4),5yyqhh中的弹性力学修正项：第三章平面问题的直角坐标解答弹性力学与材料力学的解法比较:应力比较弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡微分方程,几何方程和物理方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。材料力学在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。第三章平面问题的直角坐标解答几何条件中引用平截面假定－－沿为直线分布；bxhdxσεu,,y例如：边界条件也没有严格考虑；平衡条件中没有考虑微分体的平衡，只考虑的内力平衡；材料力学解往往不满足相容条件。第三章平面问题的直角坐标解答对于杆件，材料力学解法及解答具有足够的精度；对于非杆件，不能用材料力学解法求解，应采用弹性力学解法求解。第三章平面问题的直角坐标解答1.当问题中的y轴为对称轴时，试说明和应为x的偶函数，而应为x的奇函数。Φvσσyx,,uxy,思考题2.对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学中是如何考虑平衡条件的？第三章平面问题的直角坐标解答3.试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不符合平面截面假设。4.材料力学的解答往往不满足相容条件，为什么？第三章平面问题的直角坐标解答§3-5楔形体受重力及液体压力设有楔形体，左面垂直，顶角为α，下端无限长，受重力及齐顶液体压力。,0xf.1gfyoyxnαα2g1g2第三章平面问题的直角坐标解答用半逆解法求解。因为应力,而应力的量纲只比高一次（L），所以应力(x,y一次式）,即可假设应力为x,y的一次式。gρg,ρ21gρg,ρ2112()ρg,ρg（1）用量纲分析法假设应力:第三章平面问题的直角坐标解答（2）由应力~关系式，应为x,y的三次式，（3）满足相容方程.04Φ（4）由求应力，Φ,6222dycxxfyΦσxx,26122gybyaxyfxΦσyy.222cybxyxΦxyΦΦΦ.3223dycxyybxaxΦ第三章平面问题的直角坐标解答（5）考察边界条件--本题只有两个大边界，均应严格满足应力边界条件。x=0铅直面，,)(20gyσxx,0)(0xxy解出;62gd.0c(a)解出第三章平面问题的直角坐标解答tanyx斜边界上，,0)(tanyxyxxmlσ.0)(tanyxxyylmσ(b)须按一般的应力边界条件来表示，有第三章平面问题的直角坐标解答其中,cos),cos(xnl.sin),cos(ynm由式（b)解出a