大学高等数学上册竞赛试卷与答案

第1页共8页命题人：试卷分类（A卷或B卷）A高等数学竞赛（第一组）试卷专业：班级：姓名：学号：题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题（40分）题号12345678910总分选项1.设nnnyzx，且0)(limnnnxy，则nnzlim（）(A)存在且等于零;(B)存在但不一定等于零；(C)不一定存在；(D)一定不存在.2.设()fx在x=a的某个邻域内有定义，则()fx在x=a处可导的一个充分条件是（）（A）1lim[()()]hhfafah存在（B）0limhf(a+2h)-f(a+h)存在h（C）0limhf(a+h)-f(a-h)存在2h（D）0limhf(a)-f(a-h)存在h3.设为()arctanfxx在[0,]b上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则220limbb（）(A)1(B)12(C)13(D)14.4.若21(),(0)fxxx，且(1)2f，则()fx（）(A)2x(B)1ln22x(C)2x(D)1x5.设222:Dxya，则DIxydxdy（）(A)0(B)42a(C)4a(D)4a6.若()fx的二阶导数存在，且()0,(0)0fxf，则()()0fxFxxx在上（）(A)单调增加(B)单调减少(C)有极小值(D)有极大值试卷编号第2页共8页7.设L是曲线2yx与直线yx所围成区域的整个边界曲线，(,)fxy是连续函数，则曲线积分(,)Lfxyds（）(A)11200(,)(,)fxxdxfxxdx(B)11200(,)(,)2fxxdxfxxdx(C)112400(,)19(,)2fxxxdxfxxdx(D)1241[(,)19(,)2]fxxxfxxdx8.设直线L：3102123zyxzyx，平面：224zyx，则它们的位置关系是（）.（A）//L（B）L在上（C）L（D）L与斜交9.设函数()()fxgx与在[0,1]上连续，且()()fxgx，则对任何(0,1)c，有（）(A)1122()()ccftdtgtdt(B)1122()()ccftdtgtdt(C)11()()ccftdtgtdt(D)11()()ccftdtgtdt10.设()fx为不恒等于零的奇函数，且(0)f存在，则函数()()fxgxx（）(A)在0x处左极限不存在（B）有跳跃间断点0x(C)在0x处右极限不存在（D）有可去间断点0x二、(10分）已知数列120,nnnnUUUU且，如果数列1nnnUXU，且limnnXA存在，求A第3页共8页三、（10分）设)(1lim)(2212Nnxbxaxxxfnnn，试确定a、b的值，使与)(lim1xfx)(lim1xfx都存在.四、（10分）设()fx连续且201(2)arctan2xtfxtdtx，已知(1)1f，求21()fxdx五、（10分）设2,AabBkab，其中1,2,abab且，问：（1）k为何值时，AB；（2）k为何值时，以AB和为邻边的平行四边形面积为6。第4页共8页六（10分）设函数(,)zfxy在点（1，1）处可微，且(1,1)(1,1)(1,1)1,2,3,fffxy()(,(,))xfxfxx，求31()xdxdx七（10分）计算222(coscoscos)Ixyzds，其中222(0),xyzzh是cos,cos,cos是此曲面的外法向量的方向余弦。第5页共8页命题人：试卷分类（A卷或B卷）A高等数学竞赛试卷专业：班级：姓名：学号：题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题（40分）题号12345678910总分选项1.设nnnyzx，且0)(limnnnxy，则nnzlim（C）(A)存在且等于零;(B)存在但不一定等于零；(C)不一定存在；(D)一定不存在.2.设()fx在x=a的某个邻域内有定义，则()fx在x=a处可导的一个充分条件是（D）（A）1lim[()()]hhfafah存在（B）0limhf(a+2h)-f(a+h)存在h（C）0limhf(a+h)-f(a-h)存在2h（D）0limhf(a)-f(a-h)存在h3.设为()arctanfxx在[0,]b上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则220limbb（C）(A)1(B)12(C)13(D)14.4.若21(),(0)fxxx，且(1)2f，则()fx（C）(A)2x(B)1ln22x(C)2x(D)1x5.设222:Dxya，则DIxydxdy（B）(A)0(B)42a(C)4a(D)4a6.若()fx的二阶导数存在，且()0,(0)0fxf，则()()0fxFxxx在上（A）(A)单调增加(B)单调减少(C)有极小值(D)有极大值试卷编号第6页共8页7.设L是曲线2yx与直线yx所围成区域的整个边界曲线，(,)fxy是连续函数，则曲线积分(,)Lfxyds（D）(A)11200(,)(,)fxxdxfxxdx(B)11200(,)(,)2fxxdxfxxdx(C)112400(,)19(,)2fxxxdxfxxdx(D)1241[(,)19(,)2]fxxxfxxdx8.设直线L：3102123zyxzyx，平面：224zyx，则它们的位置关系是（C）.（A）//L（B）L在上（C）L（D）L与斜交9.设函数()()fxgx与在[0,1]上连续，且()()fxgx，则对任何(0,1)c，有（D）(A)1122()()ccftdtgtdt(B)1122()()ccftdtgtdt(C)11()()ccftdtgtdt(D)11()()ccftdtgtdt10.设()fx为不恒等于零的奇函数，且(0)f存在，则函数()()fxgxx（D）(A)在0x处左极限不存在（B）有跳跃间断点0x(C)在0x处右极限不存在（D）有可去间断点0x二、(10分）已知数列120,nnnnUUUU且，如果数列1nnnUXU，且limnnXA存在，求A解：11111111nnnnnnnnnUUXUUUUXU，两边取极限得11AA，即210AA，解得152A（负值舍去），所以152A。第7页共8页三、（10分）设)(1lim)(2212Nnxbxaxxxfnnn，试确定a、b的值，使与)(lim1xfx)(lim1xfx都存在.解：当||1x时，221limlim0nnnnxx，故2()fxaxbx；当||1x时，1()fxx112111,1,lim()1,lim(),1(),11,1,1,lim(),lim()1,1xxxxxfxfxababxfxaxbxxxfxabfxabx所以0a，1b。四、（10分）设()fx连续且201(2)arctan2xtfxtdtx，已知(1)1f，求21()fxdx解：令2txs，则2202(2)(2)()()2()()xxxxxxxtfxtdtxsfsdsxfsdssfsds已知条件化为22212()()arctan2xxxxxfsdssfsdsx，求导并化简得242()2[2(2)()][22(2)()]1xxxfsdsxfxfxxfxxfxx，即242()()1xxxfsdsxfxx。令1x，再利用(1)1f，得2112()12fsds，即213()4fxdx五、（10分）设2,AabBkab，其中1,2,abab且，问：（1）k为何值时，AB；（2）k为何值时，以AB和为邻边的平行四边形面积为6。解：（1）为使AB，则0AB，即2222(2)()222||||cos2||||cos2222224480abkabkakbababkakbababkkk所以2k（2）|||(2)()||2()()2()()||(2)()||2|||||sin22|2|6SABabkabkaakbaabbbkbakbak解得51kk或第8页共8页六（10分）设函数(,)zfxy在点（1，1）处可微，且(1,1)(1,1)(1,1)1,2,3,fffxy()(,(,))xfxfxx，求31()xdxdx解：由题设(1)(1,(1,1))(1,1)1fff，3211()3()xxddxxdxdx121213[(,(,)(,(,)((,)(,))]xfxfxxfxfxxfxxfxx=3[2+3（2+3）]=51七（10分）计算222(coscoscos)Ixyzds，其中222(0),xyzzh是cos,cos,cos是此曲面的外法向量的方向余弦。解：方法一：22222222cos()()0yzyzDDxdsxdydzxdydzxdydzzydydzzydydz前后；同理2cos0yds；所以2222cos()xyDIzdszdxdyxydxdy2222223400()2hxyhxydxdydrdrh方法二：利用高斯公式，添加平面zh，因222xyh，取上侧。11222222Ixdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy12(222)xyzdvzdxdy122220022hhrzdvhdxdydrdrzdzhh44422hhh。