考研线性代数总结

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确一、行列式与矩阵行列式的定义()121212121211121(...)21222()1212,12()1nnnnnnniiinnjjjnjjnjiiinjjjiinnnnaaaaaaDaaaaaaaaatt⋅⋅⋅==-=-⋅⋅⋅∑∑LLLLLMMML1(),nTArAnAAAxxAxAxAAAAEooobb==⇔∀≠≠∀∈=≠⇔≅可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0只有零解，总有唯一解0是正定矩阵R12,sinnAppppnBABEABEAA⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪==⎪⎪⎪⎩是初等阵存在阶矩阵使得或的列（行）向量是的一组基是的某两组基的过渡矩阵RR评注全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间.()0ArAnAAAAxAol=⇔==不可逆的列（行）向量线性相关0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量评注()0()0,raEbAnaEbAaEbAxaAbll⎧⎪+⎪+=⇔+=⎨⎪⎪=⎩有非零解－为的特征值~~⎫⎪≅⎪⎪───→⎬⎪⎪⎪⎭具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()2√关于12,,,neee⋅⋅⋅：①称为n¡的标准基，n¡中的自然基，单位坐标向量87p教材；②12,,,neee⋅⋅⋅线性无关；③12,,,1neee⋅⋅⋅=；④tr=niiiEan=∑；1niiia=∑（即主对角元素之和）⑤任意一个n维向量都可以用12,,,neee⋅⋅⋅线性表示.逆序数：一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，逆序数为奇数叫做奇排列。为偶数叫做偶排列。奇排列变成偶排列对换次数为奇数。反之相同一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性（即()211tt=-）设排列为111lmnaaabbbccLLL，作m次相邻对换后，变成111lmnaaabbbccLLL，再作1m+次相邻对换后，变成111lmnaabbbaccLLL，共经过21m+次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1，要么减少1，相当于()211tt=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m+次相邻对换后()()2121111mttt+=-=-，故原命题成立。n阶行列式的6大性质p教材9部分证明请看性质1：行列式与它的转置行列式相等性质2：互换任意行(列)式的两行列行列式变号。推论：如果有两行(列)相同，行列式为0性质3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用k乘以行列式推论：行列式的某一行(列)的所有元素的共因子可以提到行列式的外面。性质4：行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。性质5：任意行列式可按某行(列)分解为两个行列式之和。性质6：把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后再加到另一行(列)上，行列式不变。将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)nnDD-=-；将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为2D，则(1)22(1)nnDD-=-将D主副角线翻转后，所得行列式为3D，则3DD=p教材27将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为4D，则4DD=3行列式按某一行或一列元素的代数余子式展开定理：拉普拉斯定理1knCiiiDMA==∑111,0,1,j0,jnijkjikikjnijikjkjkiikiaADikkjaADkdddd===⎧==⎨≠⎩=⎧==⎨≠⎩∑∑按第行展开其中：按第行展开其中：克莱姆法则p教材53n元非齐次线性方程组：11112211111212112222221222121122nnnnnnnnnnnnnnnnaxaxaxbaaaaxaxaxbaaaDaaaaxaxaxb+++=⎧⎪+++=⎪⇒=⎨⎪⎪+++=⎩LLLLLLLLLL0D≠⇒方程组有唯一解：1212,,,nnDDDxxxDDD===L。其中(1,2,,)jDjn=L是将D中的第j列元素换成常数12,,,nbbbL，其余元素不变而得到的行列式。如果120nbbb====L，对应方程组叫齐次线性方程组。证明：()()()()12111122111121122222221122,,,1,jjnjnnjjnnjjnnnnnnjnnjDjAAAnaxaxaxAbAaxaxaxAbAaxaxaxAbA+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩LLLLLLLLLLLLLLLL用中第列元素的代数余子式依次乘方程组的个方程得再把n个方程依次相加，得111111,nnnnkkjkjkjjknkjnkkjkkkkaAxaAxaAxbA====⎛⎞⎛⎞⎛⎞++++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑LL由代数余子式的性质可知,(),0;.jijxDxijD≠上式中的系数等于而其余的系数均为又等式右端为于是()1,2,,.jjDxDjn==L()2当0D≠时,方程组()2有唯一的一个解312123,,,,.nnDDDDxxxxDDDD====L评注克莱姆法则的应用范围①只适用于方程的个数与未知数个数相等的情形；②0D=⇒，克莱姆法则失效，方程可能有解，也可能无解；③齐次方程组总是有解，当0D=⇒无穷多个解（有非零解）；0D≠⇒只有唯一的零解。4√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若AB与都是方阵（不必同阶）,则==()mnAOAAOABOBOBBOAAABBOBO*==**=-1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)2112121121111()nnnnnnnnnnnaOaaaaaaaOaO----*==-KNN1（即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：()()122221211111212nijnjinnnnnxxxnnxxxxxxxx≤≤----⎛⎞=-⎜⎟⎝⎠∏LLLMMML111共有个因子p教材18,例12七种常见的行列式计算问题：ü行和相等型行列式的计算方法当行列式中每一行的元素之和相等（称为行和相等型）时，计算时把各列全部加到第一列，从第一列中提出公因式，然后，各行都减去第一行就可以降阶，ü爪形行列式的计算方法爪形行列式nD的计算一般方法是分三种情况分别讨论。假设主对角上的元素分别为12naaaL。Ø如12naaaL中有两个或两个以上的元素为零，则必有两行成比例，故0nD=；Ø如12naaaL中只有一个元素为零，例如0ka=，则先按第k行展开，再按1k-列展开，便得到一个主角行列式了；Ø如12naaaL中没有零元素，则从22a开始逐一提出主对角元素，然后，上三角化，便得到一个上三角行列式了。5评注爪形行列式的通用公式：01211220110000()000nnniijiijinnabbbcacbcaaaaaca==⎛⎞=⋅-≠⎜⎟⎝⎠∑∏LLLLLLLLL其中ü三对角行列式的计算方法先按第一列展开，可得通用递推公式11112212nnnDaDaaD--=-递推法常常要用到常系数二阶差分方程：常系数二阶差分方程的一般式：12,nnnDpDqDpq--=+为常数()()()11221221212120,nnnnccpqDccnllllllllllll⎧+≠⎪⇒--=⇒⇒=⎨⎪+==⎩其中：系数12,cc由12,DD联立求得。ü范德蒙型行列式和升阶技巧Ø加边，加边的原则是不改变原有行列式的值，并使加边后的行列式能通过简单的加减行列变成爪形；Ø加补，即加上需要补的一行和需要补的一列，使原有行列式符合范德蒙行列式，再通过代数余子式反求原行列式。ü自相似型行列式的计算方法分为行和（或列和）相等型和不等型。对相等型，可用多行加和提出公因式，再用三角降阶求之；也可先按第一列展开，得到递推公式。对不等型，先需要分别从末到第二行和第二列逐一对换，使之成为两类特殊的拉普拉斯型而求之。ü抽象型行列式的计算方法ü参数型行列式的计算方法对特征参数型先看看是否具有行和相等的特点（其实大多数具备这个特点），如果没有则要找使行列式为零的试探解()00=12ll±±一般以，试探原行列式是否为零。，依之为出发点利用行列式性质凑出公因式()0ll-。6矩阵的定义由mn×个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMML称为mn×矩阵.记作：()ijmnAa×=或mnA×矩阵的乘法()()();;;()ijmsijijsnAaBbCcCABAB××====的列数必须等于的行数()()()121211211111sijiiisjjsjijiijissjikkjkmnnmnnijikkjikkjmnijkijkcaaabbbababababCABcabABab=×====⇒==+++=⎛⎞⎛⎞⇒===⇒=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑∑∑∑LLL评注：矩阵乘法虽然不满足交换律，但仍满足结合律和分配律矩阵乘法的几何意义：投影：1010,00000xxxAopyy⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞==⇒=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠uur，相当于把向量opuur投影到x轴上；旋转：cossincoscoscossincos,sincossinsinsincossinrAoprrrqqaaqqaqqaaqqa--⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞===⇒⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠uur()()coscoscossinsincossinsincossinrraqaqaqaqaqaq+⎛⎞-⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠，相当于把向量opuur沿逆时针旋转q角，而cossincossinsincossincosnnnnnqqqqqqqq--⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠矩阵的迹：1niiia=∑设()()()()1,,nijijiinnnniAaBbtrAa××====∑方阵的迹：()()trABtrBA=评注：()()1111nnnnikkikiikikkitrABabbatrBA=======∑∑∑∑伴随矩阵()1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAA⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMML，ijA为A中各个元素的代数余子式.()1ijijijAM+=-评注：()()**,TTTTijijijijaAAaAAAA=====即有故√逆矩阵的求法:评注：()(),BCABBEBACBACECC=====逆矩阵具有唯一性:设都是的逆矩阵，则有①1AAA*-=○注：1abdbcdcaadbc--⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟--⎝⎠⎝⎠1LL主换位副变号7②1()()AEEA-────→MM初等行变换③1231111213aaaaaa-⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠3211111213aaaaaa-⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠逆矩阵概念的推广：p教材87,例3对矩阵mnA×，存在矩阵nmQ×，使得mAQE=的充分必要条件是()RAm=；Q的列向量线性无关；对矩阵mnA×，存在矩阵nmP×，使得nPAE=的充分必要条件是()RAn=；P的行向量线性无关；√方阵的幂的性质：mnmnAAA+=()()mnmnAA=（只有方阵，幂才有意义）矩阵A的两个多项式()Aj和()fA总是可以交换，即总有()()()()AfAfAAjj=从而A的几个多项式可以像数x一样相乘或分解因式，2()(2)2EAEAEAA++=+-323()33EAEAAA+=-+-()121()kkAOkEAEAAA--=-=++++L设为正整数，则有：p教材55,14()()()212121kkkkkEAEAAAEAAAAAAAEAE----++++=++++-++++=-=LLL得证；√二项展开式：()01111110nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabCaCabCabCabCbCab-----