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题型归纳及解题方法题型一应用行列式定义的有关问题例1.1已知112113211121xxxx−1，求的系数.3x解:由行列式的定义知是一个关于的多项式函数,最高次幂为,主对角线上的4个元素分别位于不同行、不同列,4个元素的乘积必然是行列式的一项;而元素也位于不同行、不同列,其对应于()的项是()xfx3x3x43342211,,,aaaa()4334221112341aaaaτ−()312211xxxx−=⋅⋅⋅−,所以的系数为-1.3x题型二利用行列式的性质计算或证明例1.2若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式12311223,mαααβααβα=,n=求行列式()32112αααββ+解：由行列式的性质，可得()3211232113212αααββαααβαααβ+=+12311223mnαααβααβα=−+=−+例1．3设123,,ααα均为三维向量，记三阶矩阵123123123123(,,),(,24,39).ABαααααααααααα==++++++已知1A=，求B．解：由行列式的性质，可得123123111111(,,)123,,1232149149Bαααααα⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠=例1.4设都是阶方阵，且BA,52||,1||=−=BA，是*AA的伴随矩阵，求行列式|)(2|*31ABAT−解：4||)||1|(|32|)(2|153*31−==−−ABAABAT例1.5设有三阶方阵111011001A−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，求1A−和13AA∗−−.解：A1=−≠0,因此矩阵可逆，且有A11112A011001−−−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠；故1113133(4)AAAAAA∗−−−−−=−=−=64题型三按行(列)展开及代数余子式的应用例1.3计算5阶行列式2100012100012100012100012D5=分析因行列式前2行(列)含较多的零元素,所以可由拉普拉斯定理按前2行(或列)展开,前2行共有=10个2阶子式,但非零子式只有3个:5D25C1102,2112，1201而第三个子式子的余式为零,于是:()()66122101200111102121012101221121D312121215=−=−+−=++++++解：题型四范德蒙行列式的应用例1.4计算232323aaabbbccc解:此行列式不是范德蒙行列式,须化为范德蒙行列式.()()(bcacababcccbbaaabcccbbaaabccccbbbaaa−−−=⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯÷÷÷222222brarcr32323211111123转置)例1.5设3阶方阵满足方程BA，EBABA=−−2，试求矩阵B以及行列2式B。其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100010001102020101EA，解0)()(2=+−−EABEA0)))(((=−−+⇒EBEAEA018202030102,02002010100≠=−=+≠=−=−EAEA)(),(EAEA−+可逆EBEA=−)(⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−===−=0010102100E)-(AB2111-EAB例1.6设矩阵，矩阵B满足210120001A⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟EBAABA+=**2，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，计算|B|.[分析]由于，易具本题|A|=3，用A右乘矩阵方程的两端，有EAAAAA||**==ABEAABAB=−⇒+=)2(3633|||||2|33ABEA=−⇒又因||||0102100001AI−==−1，故|B|=91题型五克莱姆法则的运用例1.5问λ、μ为何值时,齐次线性方程组1231231230020xxxxxxxxxλμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解?解:要齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式必为零.即31111121Dλμμ==0欲确定λ、μ的值,必先化简行列式,因λ、μ为未知常数,利用行列式的性质时,避免出现λ、μ做分母的情形.()3211111111111112100Drrλλλμμμμμμ=−→−=JJJJJGλ−故当0=μ或1=λ时,所给方程有非零解.题型六特殊类型行列式及解法类型一行(或列)和相等的行列式例1.6计算阶行列式nnxaaaaaxaaaDaaxaaaaax−−=−a−分析由于行列式的行(列)和相等,那么把1n−行(列)都加到同一行(列)上,出现公因子,提取公因子后再化为三角形行列式来计算.[()]11211nxaaaaaaaaxaaaxaaaDaaxaaxnaaxaaaaaxaaax−−−=−→+−−−−a[()][()]()11022002220002naaaxaaaxnaxaaxnaxaxa−−→+−−→+−−−类型二各行(列)含有共同元素的行列式4例1.722111213122212223222313233322123nnnnnnnnxaaaaaaaaaxaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaxa++=++n分析此类行列式可适当加一行一列,且保持原行列式的值不变,并能消去共同元素.解:解：（本题还有其它方法，此处就不一一列举）∏∑==++=−−−=+++==niiniiinnnnnnnnnnnnxxaxaxaxaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaDD112221121221222221121211211)1(00000010001题型六矩阵的基本运算和证明例3.1设，010100001A−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠APPB1−=，其中P为3阶可逆矩阵，计算201222BA−[分析]本题考查n阶矩阵方幂的计算.因为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−10010110011001102利用分块矩阵的方幂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛nnnBABA0000易知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=10001000110000101022A从而()201221006AAE==那么，由APPB1−=有5PAPAPPPAPAPPAPPB2111112)())((−−−−−===因此2012120121BPAPPEP−−==E=0⎞⎟⎟⎟故201221003002201003001001BAE−⎛⎞⎛⎜⎟⎜−=−−=⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝⎠3题型七逆矩阵例3.1已知，求⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=130210005A1−A例3.2已知,3222AEBAAA==−+，证明可逆，并求其逆.B分析将3A代入式整理成乘积形式，再利用逆矩阵的性质.B证明将EA23=代入的表达式得到B.))(2()2(2232EAEAAEAAAAAAB−+=−+=+−=如能证明,,2AAEAE+−可逆，且又能分别求出它们的逆矩阵，则就证明了可逆，其逆矩阵也就能求出，下面分别求出来：B（1）由EA23=得到EEA=−3，即故EEAAEA=++−))((2EA−可逆，且.EAAEA++=−−21)(（2）由EA23=得到()22AAE=，故A可逆，且212AA−=.（3）由EA23=得，即EEEEA10222333=+=+EEAAEA=+−+]10/)42)[(2(2故EA2+可逆，且.10/)42()2(21EAAEA+−=+−因可逆，故EAEAA−+,2,))(2(EAEAAB−+=可逆，且=+−=−+=−−−−−11111)2()()])(2([AEAEAEAEAAB=+++−=+−++20/)423(20/)42)((23456222AAAAAAEAAEAA10/)43(20/)44624(222EAAAEAAE++=+++−评注证明矩阵A可逆的同时，还需要求A的逆的命题，常常找出满足1−AEAB=或EBA=的矩阵，从而使两问题一并解决.B6题型八分块矩阵例3.3求下列矩阵的逆矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=000000200001000000000000000######2n1nnA.分析这是一个分块矩阵，可用分块矩阵求逆的方法来求.解设1200AAA⎛=⎜⎝⎠⎞⎟0，其中,120001002000000100002000nAAnn⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎛⎞==⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠而2A是阶矩阵。则2n−1111200AAA−−−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠而,112100021000130000010110021000nnnAAn−⎛⎞⎜⎟0−⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠所以，有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−000100000001000000000100000011######3n12n1nnA.7评注要熟记常用的上（下）三角分块求逆，对角形分块求逆的方法，其它的分块矩阵求逆，一般可以利用这些特殊的形式进行变化.题型九矩阵的秩例设3阶方阵，且它们的秩为BA和3)(2)(==BrAr，，求秩**()rAB解由3)(2)(==BrAr，，故(*)(*)1rArB3==，，所以**()1rAB=题型十初等变换与初等矩阵例3.5设A是n阶可逆方阵，将A的第行和第ij行对换后得到的矩阵记为.B（1）证明可逆.B（2）求.1−AB分析对换A的两行相当于在A的左边乘上一个同阶的初等矩阵.解（1）因A可逆，所以0||≠A，又因||||AB−=，故，因而可逆.0||≠BB（2）因，而；AEBj)(i,=j)(i,j)(i,1EE=−故.j)(i,j)(i,j)(i,]j)(i,[EEEEAAAEAAB====−−−−1111评注要熟悉三种初等矩阵的表示及其作用和性质，三种初等矩阵不同的书有不同的表示，本书的三种初等矩阵的表示形式是.也有如下表示的：，等等，要注意区分.i][j(k),[i(k)],j),(i,EEEijE(k)(k),ijiEE题型十一线性组合、线性相关的判别例4.1若向量组线性相关，向量组线性无关，试问能否由线性表示？并说明理由.123,,aaa234,,aaa4a123,,aaa解不能.因为已知线性无关，那么线性无关，又因线性相关，所以可由线性表示，设234,,aaa23,aa123,,aaa1a23,aa1223alala3=+，如能由线性表示，那么4a123,,aaa841122331222133()(akakakadlkaklka=++=+++3)即可由线性表示，从而线性相关，与已知矛盾，因此，不能用线性表示.4a23,aa234,,aaa4a123,,aaa题型十二线性相关与线性无关的证明证明线性无关通常的思路是：用定义法（同乘或拆项重组），用秩（等于向量个数），齐次方程组只有零解或反证法.例4.2设A是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组nk0kAx=有解向量a，且，证明：向量组线性无关.10KAa−≠1,,,kaAaAa−证法一（定义法，同乘）设有常数12,,,kλλλ使得1120kkaAaAaλλλ−+++=用1kA−左乘上式，得1112()kkkAaAaAaλλλ−−0+++=由知0kAa=12220kkkAaAaAa++−===从而有因为110kAaλ−=10kAa−≠所以10λ=.类似可证230kλλλ====，故向量组线性无关.1,,,kaAaAa−证法二（反证法）如果线性相关，则存在不全为0的数1,,,kaAaAa−12,,,kλλλ，使1120kkaAaAaλλλ−+++=设12,,,kλλλ中第一个不为0的数是iλ，则1110iiikiAaAakAaλλλ−+−+++=用1kA−左乘上式，利用，得10kkAaAa+===10kiAaλ−=由于0iλ≠，得，与已知矛盾.10kAa−=题型十三求秩与极大线性无关组例4.3设向量组1234(1,1,1,3),(1,3,5,1),(3,2,1,2),(2,6,10,).TTTaaapa==−−=−+=−−Tp（1）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将量用线性表示.(4,1,6,10)Ta=1234,,,aaaa（2）p为何值时，