全国高中数学联赛试题及答案

2004年全国高中数学联合竞赛试题第一试时间：10月16日一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角使关于x的方程24coscot0xx有重根，则的弧度数为（）A.6B.51212orC.5612orD.122、已知22{(,)|23},{(,)|}MxyxyNxyymxb。若对所有,mRMN均有，则b的取值范围是（）A.66,22B.66,22C.2323(,]33D.2323,333、不等式32121log1log202xx的解集为（）A.[2,3)B.(2,3]C.[2,4)D.(2,4]4、设O点在ABC内部，且有230OAOBOC，则ABC的面积与AOC的面积的比为（）A.2B.32C.3D.535、设三位数nabc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）A.45个B.81个C.165个D.216个6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，ABOB，垂足为B，OHPB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（）A.53B.253C.63D.263二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy中，函数()sincos(0)fxaaxaxa在一个最小正周期长的区间上的图像与函数2()1gxa的图像所围成的封闭图形的面积是________________。8、设函数:,(0)1fRRf满足，且对任意,,xyR都有(1)()()()2fxyfxfyfyx，则()fx=_____________________。9、如图、正方体1111ABCDABCD中，二面角11ABDA的度数是____________。10、设p是给定的奇质数，正整数k使得2kpk也是一个正整数，则k=____________。11、已知数列012,,,...,,...,naaaa满足关系式10(3)(6)18,3nnaaa且，则1nioia的值是_________________________。12、在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标为___________________。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关。问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3ABC，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。15、已知,是方程24410()xtxtR的两个不等实根，函数22()1xtfxx的定义域为,。（Ⅰ）求()max()min()gtfxfx；（Ⅱ）证明：对于(0,)(1,2,3)2iui，若123sinsinsin1,uuu12311136(tan)(tan)(tan)4gugugu则。CED1C1A1B1ABDF二○○四年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、解：因方程24coscot0xx有重根，故216cos4cot00,4cot(2sin21)02得1sin2252266或，于是51212或。故选B。2、解：MN相当于点（0，b）在椭圆2223xy上或它的内部22661,322bb。故选A。3、解：原不等式等价于222331log1log0222log10xxx设22310log1,220ttxtt则有解得01t。即20log11,24xx。故选C。4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则2(1)2()4(2)OAOCODOBOCOE由（1）（2）得，232(2)0OAOBOCODOE，即ODOE与共线，OBCAED且332||2||,322AECABCAOCAOCSSODOESS，故选C。解法2如图建立坐标系xoy，分别设(,0),(0,),(,0),(,)AaBbCcOxy，则(,),(,),(,)OAaxyOBxbyOCcxy由230OAOBOC得，3by，3ABCAOCSbSy，故选C奎屯王新敞新疆5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即,,{1,2,...,9}abc（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为1n，由于三位数中三个数码都相同，所以，1199nC。（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为2n，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有292C。但当大数为底时，设ab，必须满足2bab。此时，不能构成三角形的数码是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211共20种情况。同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有23C种情况。故2222399(220)6(10)156nCCC。综上，12165nnn。6、解：,,,ABOBABOPABPBOHPB又,,PABPOBOHHCOHPA面面。C是PA中点，OCPAHOCHOHCS当时最大，也即OHPCPHCOVV最大。此时，Dyo'OyxBCA002,,3026tan303HOOPHPOOBOP1故HO=2，故选D。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、解：21()1sin(),arctanfxaaxa其中，它的最小正周期为2a，振幅为21a。由()fx的图像与()gx的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为2a、宽为21a的长方形，故它的面积是221aa。8、解：,,(1)()()()2,xyRfxyfxfyfyx对有(1)()()()2fxyfyfxfxy有()()()2fxfyfyx=()()()2fyfxfxy即()(),0,()1fxyfyxyfxx令得。9、解：连结1,DC1作CEBD，垂足为E，延长CE交1AB于F，则1FEBD，连结AE，由对称性知1,AEBDFEA是二面角11ABDA的平面角。连结AC，设AB=1，则112,3.ACADBD1RtABD在中，1123ABADAEBD，在22222242213cos42223AECEACAEACAECAECAECEAE中,0120,AECFEAAEC而是的补角，060FEA。CED1C1A1B1ABDF10、解：设222*224,,0,2ppnkpknnNkpknk则，从而224pn是平方数，设为2*2,,(2)(2)mmNmnmnp则22212123,,214pmmnppmnppn是质数，且解得222(1)(1),244pmpppkk故。（负值舍去）11、解：设1111,0,1,2,...,(3)(6)18,nnnnbnabb则即1111113610.2,2()333nnnnnnbbbbbb故数列1{}3nb是公比为2的等比数列，11001111112()2()2(21)33333nnnnnnbbba。112001112(21)1(21)(1)2333213nnnniniioiiibnna。12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为：222()(3)2(1)xayaa对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足222(1)(3),aa解得a=1或a=－7。即对应的切点分别为'(1,0)(7,0)PP和，而过点M，N，'p的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以'MPNMPN，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而45642,652，因此，当5n时，n次出现的点数之和大于2n已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。.......5分（Ⅱ）设事件nA为“第n关过关失败”，则对立事件nA为“第n关过关成功”。第n关游戏中，基本事件总数为6n个。第1关：事件1A所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），过此关的概率为：1122()1()163PAPA。第2关：事件2A所含基本事件数为方程xya当a分别取2，3，4时的正整数解组数之和。即有1111231236CCC（个）。过此关的概率为：22265()1()166PAPA。........10分第3关：事件3A所含基本事件为方程xyza当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整数解组数之和。即有22222223456713610152156CCCCCC（个）。过此关的概率为：3335620()1()1627PAPA。.........15分故连过前三关的概率为：1232520100()()()3627243PAPAPA。........20分（说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）14、解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为44(1),(1),033yxyxy。点(,)Pxy到AB、AC、BC的距离依次为12311|434|,|434|,||55dxydxydy。依设，2222123,|16(34)|25dddxyy得，即22222216(34)250,16(34)250xyyxyy或，化简得点P的轨迹方程为圆S：22222320171280xyyyy2与双曲线T:8x......5分（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S：2222320xyy①与双曲线T：2171280yy28x②因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。ABC的内心D也是适合题设条件的点，由123ddd，解得1