2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

向量的夹角与垂直:OABba两个非零向量和,作，,则abAOB叫做向量和的夹角．OAaOBbab夹角的范围：0,180与反向abOABab记作ab90与垂直，abOABab注意:两向量必须是同起点的zxx、k0与同向abOABab特别的：例1：如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！60找向量夹角必须保证向量有相同的起点120°记作：ab即：cos0ab=ab规定：零向量与任一向量的数量积为0，即000aa,cosababab已知非零向量与它们的夹角是，则数量叫做与的数量积（内积）平面向量数量积的概念不是乘号，既不能省，也不能用代替;,//)2(,43)1(2,12babababa求求：已知例，分两种情况：）由（ba//2;2,baba同向，当。反向，当2,baba3cos4abab解：（1）21212对于非零向量的数量积的符号和大小受哪些因素的影响？两个向量数量积为0，有几种可能？当它们的夹角为θ时,向量的数量积为负!(,]2当它们的夹角为θ时,向量的数量积为正![0,)2数量积的重要性质:baba)3(0)1(bababababa同向时，与当)2(量积的定义有：都是非零向量，根据数设ba,222aaaaaaaa或特别地，bababa反向时，与当0,0baba有则对任意向量若0,0baba，有则对任一个非零向量若0,0,0aabb若则0,,0中至少有一个为则若baba(1)(2)(3)(4)bOBaOA，作，过点B作1BB垂直于直线OA，垂足为，则1B1OB|b|cosθOABab1BOABab)(1B|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．θ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0BOAab1B数量积的几何意义数量积a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。例3.已知,4,6baab与的夹角为60°，求：（1）在方向上的投影；（2）在方向上的投影；bbaa||cosb=2cosa=3平面向量数量积的运算律已知向量和实数，则向量的数量积满足：,,abc（1）abba（交换律）（2）()()()ababab（数乘结合律）（3）()abcacbc（分配律）平面向量的数量积及运算律例4.求证：（1）（2）2222bbaaba22bababa证明：（1）2bababaaabaabbb222bbaa（2）bababaabbb22babaababbaababaa向量满足完全平方公式、平方差公式,,ab对任意向量有类似代数中的多项式运算？(3)(3)(2)abab(4)(2)(3)abab22253aabb226aabb222(1)()2;abaabb22(2)()().ababab类比实数中的结合律：(ab)c=a(bc)消去律:ab=bc(b≠0)a=c向量的数量积是否有相似的运算律？即：等式是否成立呢？()()abcabc能成立吗？命题ca)0b(cbba，求的夹角为与，，：已知例obaba120322）（））（；（）；（）（babababa3232122；）；（）（baba54解：3)21(32120cos1obaba）（22352323bbaababa）（））（（59422222baba）（223120cos52bbaao342715879642)(4222bbaababa）（199642)(5222bbaababa）（.5例例6.何值时，向量akbakb互相垂直？与解：akbakb与互相垂直的条件是()()0akbakb即2220akb||3,||4ab29160k34k即当34k时，向量akbakb互相垂直.与已知||3,||4,abab且不共线.与k为bb2161)2()32(34.7aababababa和）求；（的夹角与）求（，，，已知例62,2260cos460cos2,2:?.,2:.32.]...2....2.[....20.[...,0.21.........1..................................1...........1........,.12121212121accbbaaccbbabacbaABCaccbbacABbCAaBCABCDCBAbabaeeDeeCeeBeeAee同理的边长为正三角形解下面解法正确吗的值求、、中，的正三角形在边长为对问题），（，（），），）的取值范围是（的夹角与则已知）中正确的是（，则下列结论是两个平行的单位向量已知CCABCcaab120ab4cos1202bcca2abbcca6课堂小结知识：（1）平面向量的数量积定义；（2）平面向量的数量积的几何意义；（3）平面向量数量积的重要性质及运算律思想方法：（1）转化、数形结合等思想（2）公式或定义法作业•《45分钟》P55-56•预习《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》