第2章-点-线-面的投影-2

1第2章点、直线、平面的投影2.4平面的投影一、平面的表示法二、平面的投影特性三、平面上的直线和点2.5直线与平面及两平面的相对位置一、平行问题二、相交问题22.4平面的投影一、平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及直线外一点abcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线平面图形c●●●abcab●●●c●●●●●●ababcb●●●●●●acabc3二、平面的投影特性垂直倾斜投影特性★平面平行投影面——投影显示实形★平面垂直投影面——投影积聚成直线★平面倾斜投影面——投影类似原平面实形性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性平行4⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面5YWHVoXZβγ⒈投影面垂直面投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。积聚性类似性类似性铅垂面βγ另外两个投影面上的投影有类似性。6判断下列平面是什么位置的平面？正垂面侧垂面OXZYHYWγOXZYHYWa'b'c'd'abcda(b)c(d)β7bcacbcba类似性类似性积聚性铅垂面为什么？γβ是什么位置的平面？8AHVW⒉投影面平行面实形性积聚性积聚性正平面正立投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。9平行面的投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。水平面侧平面10abcabcabc积聚性积聚性实形性水平面判断下列平面是什么位置的平面？实形性正平面11abcacbabc⒊一般位置平面三个投影都类似。投影特性：HWVOXZY12acbca●abcb例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。45°13三、平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：⒈平面上的直线●●MNAB●M若一直线通过平面上的两点，则此直线必在该平面内。若一直线通过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。一.平面上取任意直线14abcbcadd例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一：解法二：有多少解？有无数解！n●m●n●m●abcbca15二.属于平面的特殊位置直线属于平面的投影面的平行线WHVoXPvPHpWZY在任意平面上都存在着无数条水平线、正平线、侧平线•平行于同一投影面的直线彼此平行，且平行于平面的同面迹线。•作属于平面的投影面平行线时，应先作平行于投影轴的那个投影，再按补作属于平面的直线所缺投影作出其它投影。16abcabcabcabcd'dd'd属于平面的投影面的平行线水平线正平线17例：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。nmnm10cabcab唯一解！有多少解？18⒉平面上取点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。bacakb●①c面上取点的方法：dd利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解首先面上取线k●②●abcabkck●19bckadabckb例2：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一：解法二：cadadbcd20dede1010m●m●例：在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。bcXbcaaO212.5直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题直线与平面平行平面与平面平行包括⒈直线与平面平行若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。22n●●acbmabcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？dd23正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。唯一解c●●bamabcmnndd有多少解？24⒉两平面平行①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。cfbdeaabcdeffhabcdefhabcde25acebbaddfcfekhkhOXmm由于ek不平行于ac,故两平面不平行。例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，已知AB∥CD∥EF∥MH26直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交要讨论的问题：●求直线与平面的交点。●判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。●●27例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。作图用线上取点法⑴平面为特殊位置abcmncnbamk●1(2)2●1●●k●28km(n)b●mncbaac⑵直线为特殊位置空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。2●1●作图用面上取点法k●●29⒉两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。30可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。①求交线②判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。●能!如何判别？例1：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴能否不用重影点判别？m●n●31abcdefcfdbeam(n)●例1：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴空间及投影分析①求交线②判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。m●n●平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。32a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′空间及投影分析平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc可见。作图例2：2●1●m′●m●n●●n′●1′(2″)33abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●n′●m′●空间及投影分析平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc可见。作图34cdefababcdef例3：投影分析N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。m●互交m●n●k●n●k●35cdefababcdef⑶投影分析N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。互交m●k●k●m●36f'XOabcb'a'c'd'e'例：完成平面图形ABCDEF的水平投影。分析：运用点、直线及平面从属关系的几何原理和平行两直线的投影性质，即可补出平面图形的水平投影。fed作图：1—作af//bc；２—作fe//ab3—作ed//bc4—完成图形37例：已知平面ᇫABC与面外一点S，试过点S作一平面与平面ᇫABC平行。作图：过点S作直线SD//AB、SE//AC,即sd//ab、se//ac、s´d´//a´b´,s´e´//a´c´,相交直线SD和SE所确定的平面即为所求。eddescbsaabc38例判别平面△ABC与四边形DEFG是否平行。XOefdgabce'f'd'g'a'b'c'm'n'nm分析：在任一平面内作两相交直线，若在另一平面内也能作出与之对应平行的两相交直线，则两平面平行。作图：dm//ab、dn//ac，再作出其水平投影dm和dn。由于dm//ab、dn//ac，所以△ABC与四边形DEFG平行。39abcabc①直线为一般位置时②直线为特殊位置时babkak●●小结★点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线与平面的投影特性。重点掌握：★点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。一、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。⒊判断方法:40二、两直线的相对位置⒈平行同名投影互相平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。abcdcabd①对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。cbddbac②a41⒉相交⒊交叉（异面）同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。cabbacdkkd①c′′a′bd′abcd②42三、点与平面的相对位置面上取点的方法:bacakb●①c利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解②●abcabkc43四、直线与平面的相对位置⒈直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。⒉直线与平面相交⑵投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。⑴一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性，采用直线上取点的方法求解。abcmncnbamm(n)b●mncbaac44五、两平面的相对位置⒈两平面平行⑴若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。⑵若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。cfbdeaabcdeffhabcdefhabcde45⒉两平面相交⑴两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。⑵一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′abcdefcfdbea46作业:2-18、20、21、23、24、26、28、31、3447