2.1.1曲线与方程.ppt好

第二章圆锥曲线与方程因此，通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线。（1）l上点的坐标都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上l思考1:如图:直线l与方程x-y=0之间有什么关系？∴说直线l的方程是0xy,又说方程0xy表示的直线是l.x-y=0xO11yl一、创设情境、引入新课请同学们独立思考，迅速回答思考2：画出函数y=2x2(1x2)的图象C，考察曲线C与方程2x2y=0①的关系？曲线C与方程2x2y=0(1x2)②的关系呢？yxO-128y=2x2(1x2)C2结论：1、曲线C上的点的坐标都是方程①的解。2、以方程②的解为坐标的点都是曲线上的点。请同学们独立思考，迅速回答一、创设情境、引入新课M(x0,y0)是C上的点(x0,y0)是方程2x2y=0的解M(x0,y0)是l上的点(x0,y0)是方程xy=0的解.(1x2)直线l叫方程x-y=0的直线，方程x-y=0叫直线l的方程.x-y=0xO11yxO-128y=2x2(1x2)Cl2一、创设情境、引入新课定义：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么在曲线C上的充要条件是说明:曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.f(x0,y0)=0二、探究规律、形成概念p(x0,y0)练习1：请标出下列方程所对应的曲线0)1(yx(2)x2y2=0(3)|x|y=0yOyOxyOxxABC?这是“曲线”！请同学们迅速动手，写出答案，同桌对照,举手回答二、探究规律、形成概念练习：请标出下列方程所对应的曲线0)1(yx(2)x2y2=0(3)|x|y=0yOyOxyOxxABC请同学们迅速动手，写出答案，同桌对照二、探究规律、形成概念例1.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=±k.00(1)(,)Mxy：如图，设是轨迹上的证明任意一点，oyxM00,,Mxyyx点与轴的距离为与轴的距离为0000,(,)xykxyxyk即是方程的解。请同学们独立思考，举手回答二、探究规律、形成概念kyxkyxkxyyxM1111111,),()2(即即的解，是方程的坐标设点11111,,.xyMMkM而正是点到纵轴、横轴的距离，因此点到两条直线的距离的积是常数点是曲线上的点.)0()2(),1(的点的轨迹方程距离的积为常数是与两条坐标轴的可知，由kkkxyoyxM证明已知曲线的方程的方法和步骤：1.设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是方程f(x0,y0)=0的解.2.设(x0,y0)是方程f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.请同学们思考，必要的可以进行小组讨论，统一答案，派代表回答二、探究规律、形成概念例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。思考1：我们有哪些可以求直线方程的方法？0xyAB三、探索新知、拓展思维运用直线方程的知识来求.解:∵7(1)23(1)ABk,∴所求直线的斜率k=－1/2又∵线段AB的中点坐标是(1,3)，∴线段AB的垂直平分线的方程为13(1)2yx.即x+2y-7=0法一:例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。0xyAB三、探索新知、拓展思维y0xABM法二:若没有现成的结论怎么办──需要寻找一般性的方法例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。三、探索新知、拓展思维解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,我们的目标就是要找x与y的关系式则|MA|=|MB|需要尝试、摸索先找曲线上的点满足的几何条件∴2222(1)(1)(3)(7)xyxy坐标化∴22222121691449xxyyxxyy∴270xy化简综上所述,线段AB的垂直平分线的方程是270xy.例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。法二:一般性的方法三、探索新知、拓展思维⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点的坐标都是方程270xy的解;证明:⑵设点1M的坐标11(,)xy是方程(Ⅰ)的解,即11270xy从而，1172xy点1M到A、B的距离分别是所以，11MAMB综上,线段AB的垂直平分线的方程是270xy.下面证明线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-7=0.222211111211118215613;MAxyyyyy222211111211374275613;MBxyyyyy16第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方法有一般性.请同学们小组讨论，总结出求曲线的方程的步骤。求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标(,)xy;2.写出适合条件P的几何点集:()PMPM;3.用坐标表示条件()PM,列出方程(,)0fxy;4.化简方程(,)0fxy为最简形式;5.证明(查漏除杂).√√√√√以上过程可以概括为一句话:建设现．．．(．限．)．代化．．.三、探索新知、拓展思维17例3,已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方,它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.xy0(0,2)(,)xyF..MlB请同学们独立思考，效仿例题，完成本题三、探索新知、拓展思维18例2已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方,它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.xy0(0,2)(,)xyF..MlB19求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标(,)xy;2.写出适合条件P的几何点集:()PMPM;3.用坐标表示条件()PM,列出方程(,)0fxy;4.化简方程(,)0fxy为最简形式;5.证明(查漏除杂).√√√√√以上过程可以概括为一句话:建设现．．．(．限．)．代化．．.方法小结建立坐标系设点的坐标化简限(找几何条件)代(把条件坐标化)20•1.如果曲线（或轨迹）有对称中心，通常以对称中心为原点.3.尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上.2.如果曲线（或轨迹）有对称轴，通常以对称轴为坐标轴.建立坐标系的要点是什么？21•1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。22练习1.已知点M与x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等,求点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y)建立坐标系设点的坐标∵点M与x轴的距离为y,22(4)FMxy∴y=22(4)xy限(找几何条件)代(把条件坐标化)∴222816yxyy∴2816xy化简这就是所求的轨迹方程.一：直接法23•【例2】动点与距离为4的两个定点满足求动点的轨迹方程。5MAMB24•2．转移代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。•【例3】已知定点和曲线上的动点，求线段AB的中点的轨迹方程。25例3、已知线段AB,B点的坐标（6,0），A点在曲线y=x2+3上运动，求AB的中点M的轨迹方程.xyABMy=x2+3108642-2-4-6O11x+6x=2yy=211x=2x-6∴y=2y点A（X1，Y1）在曲线y=x2+3上，则y1=x12+3解；设AB的中点M的坐标为（x，y），又设A（X1，Y1），则代入，得2y=（2x-6）2+32整理,得AB的中点的轨迹方程为3y=2x-3+2注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点法(坐标转移法)26思考：1.△ABC的顶点B、C的坐标分别为(0,0)、(4,0),AB边上的中线的长为3,求顶点A的轨迹方程.xy0(,)xy法一:设A的坐标分别为(,)xy,AB的中点D的坐标为11(,)xy由中点坐标公式可知1122xxyy∴2211(4)9xy化简整理得22(8)36xy∴点A的轨迹方程为22(8)36xy.0yCABD∵AB边上的中线CD=3M法二:添辅助线MA,巧用图形性质注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点法(坐标转移法)27思考2.经过原点的直线l与圆226490xyxy相交于两个不同点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程.xy0ABCMl解:设M(,)xy,A11(,)xy,B22(,)xy则121222xxxyyy且22111122222264906490xyxyxyxy①②由①─②得12121212()()()()xxxxyyyy12126()4()0xxyy∵OMABkk即1212yyyxxx(易知12xx)∴22640yyxyxx∴化简得22320xyxy∴所求轨迹方程为22320xyxy(在已知圆内部一段弧对应的方程)282、长为2的线段AB的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程.AMBxyOx2＋y2＝129•4．参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量（参数），使之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。•例4：过不在坐标轴上的定点M（5，8）,的动直线交两坐标轴于点A、B，过A、B作坐标轴的垂线交于点P，求交点P的轨迹方程。30•说明：本题由把联系在一起，称之为参数。由于P点是直线的交点，则P的坐标一定会满足这两条动直线的方程，解出，消去参数就得到了的关系，这种求曲线方程的方法称为参数法。31(37P练习第3题)如图,已知点C的坐标是(2,2),过点C直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B,设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程.活用几何性质来找关系xy0CBAM思维漂亮!(,)xy32例3、已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？221.xy(0),0xyMNQ33课外拓展PMNO1O2高考真题：如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.2.PMPNxyo34求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|p(M)}(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0.(4)画方程f(x,y)=0为最简形式。(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。35四：参数法例4、抛物线x2=4y的焦