模糊模式识别

第八章模糊模式识别§8-1、模糊集的基本概念1965年美国加利福尼亚大学L.A.Zadeh.”教授首次发表“FuzzySets”重要论文，奠定了模糊数学的理论基础，目前“模糊数学”已广泛应用在系统工程、生物科学、社会科学等领域中。模糊性:“高矮”、“胖瘦”、“年青”、“年老”一、模糊集的定义：假设论域E={x}（讨论的区间），模糊集A是由隶属函数μA(x)描述。μA(x)是定义在E上在闭区间{0，1}中取值的一个函数，反映x对模糊集的隶属程度。则μA(x)描述了E中的一个模糊子集A。二、模糊集A：是E中能使μA(x)0的元素集合。模糊独点集：它只含元素x1，而μ(x1)=μ1，则记为：A＝μ1/x1（独点集）若A是有限的(x1,x2,……,xn)而μ(xi)=μi则A=μ1/x1+μ2/x2+……μn/xn=,μi为隶属函数,xi为元素若A是无限的台则有无限元素则niiix1EAxxA例：在论域E中确定一个模糊子集A，它表示“园块”这一模糊概念。（如右图）E=(a,b,c,d,e,f）μ(a)=1,μ(b)=0.9,μ(c)=0.4,μ(d)=0.2,μ(e)=μ(f)=0dcbaAA2.04.09.01共有四个台，可得abcdefE三、用α水平集来划分模糊集设:A为E=（x）中的模糊集则A={x|μA(x)≥α}称为模糊集A的α水平集，α为阈值在（0，1）间取值（一个模糊集可利用其水平集来划分）A为有限个台时，水平集为A为无限个台时，水平集为例：关于“年青”的模糊集为E={A50,A45,A40,A35,A30,A25}E中模糊集：A=0/A50+0.1/A45+0.3/A40+0.5/A35+0.9/A30+1/A25;AAEAAα=0.1水平集:A=0.1/A45+0.1/A40+0.1/A35+0.1/A30+0.1/A25α=0.3水平集:A=0.3/A40+0.3/A35+0.3/A30+0.3/A25α=0.5水平集:A=0.5/A35+0.5/A30+0.5/A25∴不同的α有不同的模糊集A0.1={A45,A40,A35,A30,A25}A0.3={A40,A35,A30,A25}A0.5={A35,A30,A25}A0.9={A30,A25}§8-2、模糊集的简单运算及模糊关系一、并集、交集、补集设：A,B为E=（x）上的两个模糊集，则它们的并集A∪B、交集A∩B、及A的补集仍为模糊集，则它们的隶属函数为：并集:μA∪B(x)＝max(μA(x),μB(x))交集:μA∩B(x)＝min(μA(x),μB(x))补集:=1-μB(x),μA(x),μB(x)分别为A、B的隶属函数)(xAA例、模糊集A=0.3/x1+0.6/x2+1/x3+0/x4+0.5/x5B=0.4/x1+0.8/x2+0/x3+0.6/x4+1/x5则=0.7/x1+0.4/x2+0/x3+1/x4+0.5/x5=0.6/x1+0.2/x2+1/x3+0.4/x4+0/x5=0.3/x1+0.6/x2+0/x3+0/x4+0.5/x5=0.4/x1+0.8/x2+1/x3+0.6/x4+0.5/x5ABBABA二、距离的定义：若A,B为E=（x）上的模糊集，E中有n个元素则A,B的线性距离为:A,B的欧氏距离为我们可以利用模糊集间的距离对模糊集进行分类和聚类。niiBiAxxnBAd1)()(1),(niiBiAxxnBAR12)()(1),(三、模糊关系：设U,V为两个模糊集,则u,v的笛卡儿乘积集记为：U×V={(u,v)|u∈U,v∈V},(u,v)是U,V元素间的一种无约束搭配，若把这种搭配加某种限制，U,V间的这种特殊关系叫模糊关系R。（∴模糊关系是笛卡儿乘积集的一个子集，不是无约束的）隶属度R(u,v)表示u,v具有关系R的程度例：u为身高，v为体重u=（1.4,1.5,1.6,1.7,1.8）（单位m）v=(40,50,60,70,80)（单位kg）40506070801.410.80.2001.50.810.80.201.60.20.810.80.21.700.20.810.81.8000.20.81模糊矩阵（模糊关系）vu),(vuR模糊关系为：18.02.0008.018.02.002.08.018.02.002.08.018.0002.08.01~R这样的矩阵（元素介于0，1之间）称为模糊矩阵,即模糊关系。四、复合矩阵设：例：维模糊矩阵是＝维模糊矩阵是＝rmsSmnrRikij~~”表示求最小值”表示求最大值，“式中“令),...,2,1;,...,2,1(,1rknisrtjkijmiik~~~~~~SRTSRtTik记作的复合矩阵，对为＝3.04.0108.012.005.03.07.0102.01.0~＝R。的最大－最小合成关系与上式表示SR解：仿矩阵相乘8.001003.02.04.017.008.008.012.04.03.009.0~＝S17.03.08.08.05.013.07.03.07.04.0~~~SRT相乘时取最小，相加时取最大。五、模糊关系的性质1、自反性：对E×E中的模糊关系，为内的元素,若成立，则有自反性。2、对称性：若对(x,y)∈E×E都有则有对称性。矩阵对角线元素对称，μij=μji。1000010000100001~＝即R~R~R~R~R1),(~xxR成立),(),(~~xyyxRR~R具有自反性对称性的模糊关系称为相似关系（或类似关系）3、传递性:若矩阵中有:具有自反性、对称性、传递性的模糊关系称为等价关系。~R),(~yxR.,,,~~~2~2~~~2~具有传递性称矩阵内的元素为元素为其中RRRRRRRRR§8-3、模糊识别方法－、隶属原则识别法设：A1,A2,….,An是E中的n个模糊子集，x0为E中的一个元素，若有隶属函数μi(xo)=max(μ1(xo),μ2(xo),…..μn(xo)),则xo∈μi。则xo∈Ai若有了隶属函数μ(x)，我们把隶属函数作为判别函数使用即可。此法的关键是求隶属函数二、择近原则识别法1、定义：两个模糊子集间的贴近度设：A，B为E上的两个模糊集。则它的贴近度为：”表示求最小。”表示求最大，“符号“的内积和外积。与分别称为⊙式中~~~~~~~~~~))()(()),()((,BAxBxABAxBxABAExEx)]1[21)(~~~~~~BABABA⊙（例：E=(a,b,c,d,e,f)6.0)]6.01(8.0[21)(6.0)6.04.0()8.06.0()18.0()8.01()6.08.0()4.06.0(8.0)6.04.0()8.06.0()18.0()8.01()6.08.0()4.06.0(6.08.018.06.04.04.06.08.018.06.0~~~~~~~~BABABAfedcbaBfedcbaA贴近度＝⊙＝2、设：E上有n个模糊子集及另一模糊子集。若贴近度~~2~1,......,,nAAA~B法。这就是择近原则识别方类则最贴近与则称＝..)(max)(~~~~1~~iijnjiABABABAB三、模糊聚类分析：基于模糊等价关系的聚类方法设：是E上一个模糊关系，若满足：（a）、自反性：μij＝1（b）、对称性：μij＝μji（c）、传递性：则称是E上一个模糊等价关系。~R~~~RRR~R定理：若是E上的一个等价关系。则对任意阈值α(0≤α≤1)则模糊水平集Rα也是E上的一个等价关系。α水平集：Rα=[x|μA(x)≥α]例：利用α水平集可以聚类设X＝{x1、x2、x3、x4、x5}~R16.05.04.05.06.015.04.05.05.05.014.08.04.04.04.014.05.05.08.04.01~R1x2x3x4x5x1x2x3x4x5x可以证明是一个模糊等价关系∴α水平集为：把x聚为一类x聚为二类即{x1,x3,x4,x5}{x2}~R11111111111111111111111114.0R11101111011110100010111015.0Rx分为三类即{x1,x3}{x2,}{x4,x5}x分为四类即{x1,x3}{x2}{x4}{x5}11000110000010100010001016.0R10000010000010100010001018.0Rx分为五类即{x1}{x2}{x3}{x4}{x5}聚类图：αx1x2x3x4x510000010000010000010000011R18.06.05.04.0模糊聚类算法：㈠设x是要分类的对象全体，建立x上的模糊关系。它满足自反性、对称性，即：μij＝1，μij＝μji此模糊关系为相似关系。㈡把相似关系（相似矩阵）变成等价关系方法为：取的乘幂为（三）选择适当α值，取等价关系R的α水平集，根据水平集确定样本的类别。~R~R~R......,,8~4~2~RRR4~4~8~2~2~4~~~2~~~2k~k~,.RRRRRRRRRRRRR＝＝＝就是模糊等价关系。且则＝＝若在某一步有例：设X＝{x1,x2,……,x5}五个人的集合。x1为父亲，x2为儿子，x3为女儿，x4为叔叔，x5为母亲，x上的模糊关系表示他们间的相象关系。~R11.09.085.02.01.0102.01.09.0018.06.085.02.08.018.02.01.06.08.01~R1x2x1x2x3x4x5x3x4x5x其中μij表示第i个人xi与第j个人xj的面貌相似程度。它满足自反性μii＝1，、对称性μij＝μji，但是不满足传递性。∴是相似关系，利用以上方法改造成等价关系。为模糊关系。＝＝可以证明：利用公式：2~2~4~2~2~~~~~2~~~][12.09.085.08.02.012.02.02.09.02.0185.08.085.02.085.018.08.02.08.08.01RRRRRBABARRR分成若干等价类。上的等价关系，据此把此为（＝水平集。的取函数矩阵内的元素作为隶属为设xxXyxyxyxRRRRR)10(,,,),(),22~2~2~2~~101000100010100000100000129.0R应分类为：{x1},{x2},{x3,x5},{x4}1011001000101101011000001285.0R应分类为：{x1},{x2,x3,x5},{x4}101110100010111101111011128.0R应分类为：{x1,x2,x3,x5},{x4}聚类图19.085.08.02.01x2x5x4x3x求模糊等价关系的算法设：为相似关系，~RnnnjnninijiinjR..........