最小二乘法线性和非线性拟合

1数学建模与数学实验后勤工程学院数学教研室拟合2实验目的实验内容2、掌握用数学软件求解拟合问题。1、直观了解拟合基本内容。1、拟合问题引例及基本理论。4、实验作业。2、用数学软件求解拟合问题。3、应用实例3拟合2.拟合的基本原理1.拟合问题引例4拟合问题引例1温度t(0C)20.532.751.073.095.7电阻R()7658268739421032已知热敏电阻数据：求600C时的电阻R。2040608010070080090010001100设R=at+ba,b为待定系数5拟合问题引例2t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg)求血药浓度随时间的变化规律c(t).作半对数坐标系(semilogy)下的图形为待定系数kcectckt,)(002468100101102MATLAB(aa1)6曲线拟合问题的提法已知一组（二维）数据，即平面上n个点（xi,yi)i=1,…n,寻求一个函数（曲线）y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii为点（xi,yi)与曲线y=f(x)的距离7拟合与插值的关系函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和f之间的关系？x1247912131517f1.53.96.611.715.618.819.620.621.1MATLAB(cn)问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面解决方案：•若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。•若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；8最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：0246810121416180510152025已已已已已spline已已已已已已已0246810121416180510152025已已已已已linest已已已已已已已0246810121416180510152025已已已已已nearest已已已已已已已9曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路第一步:先选定一组函数r1(x),r2(x),…rm(x),mn,令f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)（1）其中a1,a2,…am为待定系数。第二步:确定a1,a2,…am的准则（最小二乘准则）：使n个点（xi,yi)与曲线y=f(x)的距离i的平方和最小。记)2(])([])([),,(211211221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ问题归结为，求a1,a2,…am使J(a1,a2,…am)最小。10线性最小二乘法的求解：预备知识超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组)(221111212111mnyarararyarararnmnmnnmm即Ra=ynmnmnnmyyyaaarrrrrrR112111211,,其中超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。如果有向量a使得达到最小，则称a为上述超定方程的最小二乘解。212211)(imniimiiyararar11线性最小二乘法的求解定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解，且即为方程组RTRa=RTy的解：a=(RTR)-1RTy所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。nmnmnmyyyaaaxrxrxrxrR111111,,)()()()(其中Ra=y（3）12线性最小二乘拟合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函数{r1(x),…rm(x)}的选取1.通过机理分析建立数学模型来确定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.将数据(xi,yi)i=1,…n作图，通过直观判断确定f(x)：13用MATLAB解拟合问题1、线性最小二乘拟合2、非线性最小二乘拟合14用MATLAB作线性最小二乘拟合1.作多项式f(x)=a1xm+…+amx+am+1拟合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.对超定方程组)(11nmyaRnmmn可得最小二乘意义下的解。，用yRa\3.多项式在x处的值y可用以下命令计算：y=polyval（a，x）输出拟合多项式系数a=[a1,…am,am+1](数组)）输入同长度的数组X，Y拟合多项式次数15即要求出二次多项式:3221)(axaxaxf中的),,(321aaaA使得:最小])([1112iiiyxf例对下面一组数据作二次多项式拟合xi0.10.20.40.50.60.70.80.91yi1.9783.286.167.347.669.589.489.3011.2161）输入以下命令：x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];R=[(x.^2)'x'ones(11,1)]；A=R\y'1111211121xxxxR此时MATLAB(zxec1)解法1．用解超定方程的方法2）计算结果：Ａ=-9.810820.1293-0.03170317.01293.208108.9)(2xxxf171）输入以下命令：x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%作出数据点和拟合曲线的图形2）计算结果：Ａ=-9.810820.1293-0.0317解法2．用多项式拟合的命令MATLAB(zxec2)00.20.40.60.81-20246810120317.01293.208108.9)(2xxxf181.lsqcurvefit已知数据点：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）用MATLAB作非线性最小二乘拟合Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit和lsqnonlin。两个命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定义函数f(x)，但两者定义f(x)的方式是不同的,可参考例题.最小)),((21niiiydataxdataxFlsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T中的参变量x(向量),使得19输入格式为:(1)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’);(4)[x,options]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(5)[x,options,funval]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(6)[x,options,funval,Jacob]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);fun是一个事先建立的定义函数F(x,xdata)的M-文件,自变量为x和xdata说明：x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);迭代初值已知数据点选项见无约束优化20lsqnonlin用以求含参量x（向量）的向量值函数f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T中的参量x，使得最小。其中fi（x）=f（x，xdatai，ydatai）=F(x,xdatai)-ydatai22221)()()()()(xfxfxfxfxfnT2.lsqnonlin已知数据点：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan）ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）21输入格式为：1）x=lsqnonlin（‘fun’，x0）；2）x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options）；3）x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options，‘grad’）；4）[x，options]=lsqnonlin（‘fun’，x0，…）；5）[x，options，funval]=lsqnonlin（‘fun’，x0，…）；说明：x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options）；fun是一个事先建立的定义函数f(x)的M-文件，自变量为x迭代初值选项见无约束优化2210020030040050060070080090010004.544.995.355.655.906.106.266.396.506.59jt310jc210102.0][),,(minjjktcbeakbaFj例2用下面一组数据拟合中的参数a，b，kktbeatc2.0.0)(该问题即解最优化问题：23MATLAB(fzxec1)1）编写M-文件curvefun1.mfunctionf=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;2）输入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata)F(x，tdata)=，x=(a，b，k)Tktktbeabea),,(10102.002.0解法1.用命令lsqcurvefit243）运算结果为：f=0.00430.00510.00560.00590.00610.00620.00620.00630.00630.0063x=0.0063-0.00340.25424）结论：a=0.0063,b=-0.0034,k=0.254225MATLAB(fzxec2)Tktktcbeacbea),,(102.0102.0101解法2用命令lsqnonlinf(x)=F(x,tdata,ctada)=x=（a，b，k）1）编写M-文件curvefun2.mfunctionf=curvefun2(x)tdata=100:100:1000;cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)-cdata2）输入命令:x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqnonlin('curvefun2',x0)f=curvefun2(x)函数curvefun2的自变量是x，cdata和tdata是已知参数，故应将cdatatdata的值写在curvefun2