2007年宁波市中等职业学校学生数学应用能力竞赛试卷

2007年宁波市中等职业学校学生数学应用能力竞赛试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分.2.请带计算器入场.3.选择题及填空题答案请写在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分，正确答案有且仅有一个）1.李老师到学校的路程是m3500，李老师每天早上00:7离家步行去上班，在40:7（含40:7）到50:7（含50:7）之间到达单位。如果设李老师步行的速度为xmin/m，则李老师步行的速度范围是A.5.8770xB.70xC.5.8770xx或D.5.87x2.从6人中选出4人分别去美国的纽约、旧金山、华盛顿、休斯顿四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去纽约游览，则不同的选择方案共有A.300种B.240种C.144种D.96种3.假设世界人口自1980年起，50年内每年增长率固定，已知1987年世界人口达50亿，1999年第60亿个人诞生在塞拉佛耶。根据这些资料推测2023年世界人口数最接近下列哪一个数A.75亿B.80亿C.86亿D.92亿4.我国发射的“神舟六号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为A.mnB.mn2C.))((RnRmD.))((2RnRm5.设)(tfy是某港口水的的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中240t，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经过长期观察,函数)(tfy的图象可以近似地看成函数)sin(tAky的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]24,0[,6sin312ttyB.]24,0[),6sin(312ttyC.]24,0[,12sin312ttyD.]24,0[),212sin(312tty6.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，过棱锥的一条侧棱和高作载面，正确的截面图形是A.B.C.D.7.口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个。那么，上述取法的种数是A.14B.16C.18D.208.如图所示，在一个棱长为10cm的无盖正方体盒子内部的顶点1C处有一只昆虫甲，在盒子内部的顶点A处有一只昆虫乙（盒子的厚度忽略不计）。假设昆虫甲从顶点1C以scm/1的速度在盒子的内部沿棱CC1向下爬行，同时，昆虫乙从顶点A以scm/2的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需（）才能捕捉到昆虫甲（精确到s1）A.s10B.s8C.s6D.s49.某三岔路口交通环岛的简化模型如图所示，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中123,,xxx分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC，CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则A.123xxxB.132xxxC.231xxxD.321xxx10.小明与小华做游戏，记分规则如下：开始每人记分牌上都是1分；以后每赢一次，就将自己的记分牌上的分数乘以3。小明与小华的每一次游戏均决出输赢，游戏结束后，小明的得分减去小华的得分恰好为720分，则小明比小华多赢（）次。A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：（本大题共7题，每小题5分，共35分）11.在日常生活中如取款、上网等都需要密码。有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式44yx，因式分解的结果是))()((22yxyxyx，若取9,9yx时，则各个因式的值是：162,18,022yxyxyx，于是就可以把“018162”作一个六位数的密码。对于多项式234xyx，取10,10yx时，用上述方法产生的密码是：▲.（写出一个即可）12.有一个根据某年某月某日计算“星期几”有趣公式：ccyymd2]4[]4[]2.06.2[除以7的余数，其中，c表示年的前两位数字（即世纪），y表示年的后两位数字，d表示日，m表示月对应的数字（见下表）。月份123456789101112对应的m值111212345678910][x表示不大于x的最大整数，则2008年6月18日是星期▲.13.若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是▲.14.有一种新产品的质量要求从低到高分为1、2、3、4共四种不同的档次。若工时不变，车间每天可生产最低档次（即第1种档次）的产品40件，生产每件产品的利润为16元；如果每提高一个档次，每件产品利润可增加1元，但每天少生产2件产品，要使利润最大，车间应生产第▲种档次的产品。15.军训基地购买苹果慰问学员。已知苹果总数用八进位制表示abc，七进位制表示为cba。那么，苹果的总数用十进位制表示为▲。16．如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…..，Pn，…,记纸板Pn的面积为nS，则试计算求出S2=▲；S3=▲；并猜测得到1nnSS=▲(n≥2)。17．现分批买汽水给2008位人喝，喝完的空瓶根据商家规定每9个空瓶又可换一瓶汽水，所以不必买2008瓶汽水，但至少要买▲瓶汽水才能保证2008人都喝上汽水。P1P2P3P42007年宁波市中等职业学校学生数学应用能力竞赛答题卷题号一二三总分复核18192021得分阅卷人一、选择题题号12345678910答案ABCDABBBCD二、填空题11.101030、103010、30101012.三13.6cm14.315.22016.83、3211、1)41(2n17.1785三、解答题：（第18题15分，第19、20、21题每小题20分，共75分）18.某上市股票在30天内每股的交易价p（元）与时间t（天）组成有序数对),(pt，点),(pt落在下图中的两条线段上。该股票在30天内的日交易量Q（万股）与时间（天）的部分数据如下表所示。（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格p（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（本小题满分4分）（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；（本小题满分4分）（3）用y表示该股票日交易额（万元），写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？（本小题满分7分）第t天4101622Q（万股）36302418县（市、区）学校姓名座位号解：（1）.,3020,8101,,200251NtttNtt，tp（2）.,300,40NtttQ（3）.,3020,40)60(101,,200,125)15(5122NtttNttty当15,200tt时，125maxy万元；当3020t，y随t的增大而减小。所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元。19.将一块圆心角为120，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，如图所示有两种裁法，让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值。（本小题满分20分）解：设第一种裁法下所得矩形面积为1S，第二种裁法下所得矩形面积为2S。第一种裁法：连结OM，设POM，则2sin2002sin||21sin||cos||||||21OMOMOMMPOPS。当902，即45时，)(200)(2max1cmS。第二种裁法：连结OM，过O作AOMAODMNOD设则,60,，)60sin(||||21||OMMNMF，)60sin(40||MN。在MQO中，由正弦定理得120sin||sin||OMMQ，sin3340sin20332||MQ，]60cos)602[cos(33800)60sin(sin331600||||2MQMNS]21)602[cos(33800。当602，即30时，)(33400)(2max2cmS。20033400，第二种裁法能得到最大面积的矩形，其最大值为233400cm。20.某种病毒侵入人体后，其数量每4小时增加%25，根据临床统计，当病毒数量达到3000单位时，患者开始表现出比较明显的发病症状；当病毒数量达到1000万单位时，就会致人死亡。如果用抗病毒药物进行治疗，每4小时可消灭%30的病毒，并能抑制其它病毒繁殖。（1）在第一个病毒侵入人体几小时后，会出现明显的症状？如果没有进行治疗，那么几小时后会导致死亡？（本小题满分10分）（2）如果在病毒数量达到2万单位时开始治疗，约经过多少小时可使病毒数量降到3000以下？（本小题满分10分）解：（1）设第一个病毒侵入后第n4小时时体内的病毒数为na，则,1%),251(01aaann即nna25.1。可计算得49.308125.13636a，即感染者将在第144小时后出现明显症状；又因为77373672721019.125.1,1050.925.1aa，所以如果不治疗的话，感染者将在288小时后死亡。（2）设开始治疗后第n4小时时体内的病毒数为na，由于在每4小时中，抗病毒药物会消灭30%的病毒，同时抑制其它病毒繁殖，所以得到20000,7.0%)301(011aaaannn，即nna7.020000。令30007.020000n，解得6n，即治疗了24小时以后，病毒数量会降到3000以下。21.A、B、C是海上三个救援中心，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30，相距4千米，P为海面上一艘油轮。某一时刻，A发现P的求救信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C两地才同时发现这一信号（该信号的传播速度为skm/1）。（1）A若救援P，求在A处发现P所处的位置；（本小题满分8分）（2）若信号从P地的正上空P处发出，则A、B收到信号的时间变大还是变小，并说明理由。（本小题满分12分）（提示：转化为空间问题）解：（1）||||PBPC，P在线段BC的垂直平分线上，又4||||PAPB，P在以A、B为焦点的双曲线上。以线段AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图的直角坐标第，则)0,3(),0,3(BA。又C在B的北偏西30，且相距km4，)32,5(C，双曲线方程为：)1(15422yxBC的中垂线方程为：)2(073yx（2）代入（1），得025656112xx，解之得1132,821xx（不合题意，舍去）)35,8(P，设PA的倾斜角为，3tanPAK。60。又10)35(5||22PA。即油轮P在A处的北偏东30，且距离为km10处。（2）设abaPAbPBhPP,||,||,||，22222222)(||||hahbababhahbAPBP12222hahbab故||||||||PAPBAPBP，即A、B收到信号的时间差变小（比4s少）。