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第六章相似性原理和因次分析流体力学实验，是发展流体力学理论，验证流体力学假说，理解流体力学现象，解决流体力学工程问题的一个重要手段。流体力学问题1、理论分析－由于流体问题和边界的复杂性只能解决其中一部分问题2、实验－多为模型实验第一节量纲分析6-1-1量纲和单位量纲：表征物理量性质和类别的标志。如长度、时间、质量、速度、加速度等等。单位：为衡量物理量大小而人为规定的此类物理量的标准量。如mskgm/sm/s2等等。基本量纲：不能用其它物理量表达的量纲称为基本量纲。长度L，时间T，质量M为基本力学量纲。导出量纲：由两个或两个以上基本量纲通过乘除关系导出的量纲称为导出量纲。如速度，流量知识延伸：“米”的由来量纲用dim(dimension)来表示dimabcLTM=⋅⋅χdimvLT1−=量纲的分类：1、几何量：b=0c=02、运动量：a=0或a≠0b≠0c=03、动力量：a=0或a≠0b=0或b≠0c≠0量纲一的量（无量纲数）：dimLTM000=⋅⋅χ此时的χ称为量纲一的量（无量纲量，或纯数）量纲一可以参与超越函数计算。数值与所选用的单位无关，可以反映物理过程的本质。dimReLTLLTMLT111000211−−⋅⋅==⋅⋅=所以雷诺数是量纲一的量（无量纲数），水力坡度J也是无量纲数。6-1-2量纲和谐原理量纲和谐原理：一个正确的物理方程，各项的量纲是一致的。wpvpvzzhgggg221122121222−++=+++ρρ利用量纲和谐原理，推求若干物理量之间关系的分析方法称为量纲分析。量纲分析方法有瑞利法和π定理。6-1-3瑞利法如果对某一物理现象经过大量的观察、实验、分析，找出影响该物理现象的主要因素为y，x1、x2、…、xn，它们之间待定的函数关系为y=f(x1、x2、…、xn)对上式进行量纲分析，以找出诸因素之间的数学表示式。由于各因素的量纲只能由基本量纲的积和商导出，而不能相加减，因此上式可以写成指数乘积的形式为式中：k为量纲一的量，αl、α2、…、αn为待定指数。接下来的任务是确定这些指数。1n12ny=f(x,xx)⋅⋅⋅⋅⋅⋅αα2α例6-1实验揭示，流动有两种状态：层流和湍流（详见§7-1），流态相互转变时的流速称临界流速。实验指出，恒定有压管流的下临界流速vcr，与管径d，流体密度ρ，流体动力粘度μ有关。试用量纲分析法求出它们的函数关系。例6-2根据观察和猜测单摆的周期可能T与有关。试用量纲分析法求出单摆周期公式。LmgmLg(解在板书）例6-3根据推测水泵的功率N与有关。试用量纲分析法求出功率的公式。γ=ρgHQ(解在板书）6-1-4π定理设有n个变量的物理方程式（物理过程）f(x1、x2、…、xn)=0其中可选出m个变量在量纲上是互相独立的，其余（n-m）个变量是非独立的，那么此物理方程，必然可以表示为（n一m）个量纲一的量的物理方程式，即F(π1、π2、…、πn)=0式中，π1、π2、…、πn为（n一m）个量纲一的量，因为这些量纲一的量是用π来表示的，所以称此定理为π定理，又称为布金汉定理。例6-4实验观察与理论分析指出，恒定有压管流的压强损失Δp与管长L、直径d、管壁粗糙度△、运动粘度ν、密度ρ、流速v等因素有关。试用π定理求出计算压强损失Δp的公式及沿程损失hf的公式。(解在板书）第二节流动相似的概念6－2－1几何相似几何相似是指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的比例。对应角相等，对应线段成比例。pmθθ=pplmmdldlλ==金喇叭与银喇叭333pplmmVlVlλ==222pplmmAlAlλ==lλ称为长度比例常数，或称长度比尺。只有几何相似，才有相应的点，相应的断面等“相应”的概念。所以几何相似是相似的前提，是先决条件。6－2－2运动相似两相似的流动之间流线几何相似，即对应点的速度方向相同、大小成比例。pppvmmmuuvuuvλ1212===vλ称为速度比例常数，或速度比尺。，，vltλλλ/=由于t＝l/v得出时间比例常数：加速度比例常数：lvtvaλλλλλ//2==alvλλλ=运动相似是相似研究的目的，有了运动相似关系就可以进行换算：pnmmuvuv=ppmmvuuv=⋅6－2－3动力相似流动的动力相似，要求同名力作用，相应的同名力成比例。这里所提的同名力，指的是同一物理性质的力。例如重力、粘性力、压力、惯性力、弹性力。所谓同名力作用，是指原型流动中，如果作用着粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力，则模型流动中也同样的作用着粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。相应的同名力成比例，是指原型流动和模型流动的同名力成比例。式中，G、S、P、I、E、T分别表示重力、粘性力、压力、惯性力、弹性力、表面张力。动力相似是运动相似的保证。6－2－4初始条件和边界条件的相似对于非恒定流动，要求初始条件的相似，但对于恒定流动，不必要求。边界条件的相似十分重要，例如壁面粗糙度决定了管道的阻力规律。雷诺数相等的管道，Δ/d相同就是边界条件相似，沿程阻力系数相同。第三节相似准则暂不考虑弹性力及表面张力的作用，看如何满足动力相似，作用在流体微团上的力：ppspGpIppmsmGmImFFFFFFFF===惯性力的大小决定运动加速度的大小，将其与另外三力建立等式有：GpIpGmImspIpGpGmIpImspsmIpImpppmsmImppIpIIpmmpImFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF→→=→=====惯性力为22Qvvlρρ=3gVglρρ=2pAplΔ=Δ重力为压力为2duvAldylμνρ=粘性力为vFrgl=弗劳德数6－3－1重力相似准则pmFrFr=称重力相似准则GpIpGmImIpImGpGmFFFFFFFF→==22Qvvlρρ=3gVglρρ=Revlυ=雷诺数ReRepm=6－3－2粘滞力相似准则称为粘滞力相似准则22Qvvlρρ=2duvAldylμυρ=spIpsmImIpImspsmFFFFFFFF→==2vpEuρΔ=pmEuEu=称为欧拉数。6－3－3压力相似准则称为压力相似准则弹性力M和表面张力We相似准则略去ppIppmImpppmIpImFFFFFFFF→==22Qvvlρρ=2pAplΔ=Δ上述Eu，Fr，Re，M统称为相似准数。所用的ρ，v，l，p，g等统称为定性参数，或称为特征参数，例如L称为定性长度，可以是管道直径，也可以是平板绕流的板长等；v称为定性流速，可以是管道断面平均流速，也可以是点流速……具体问题具体分析，选得好质量高，选得差就不能反映物理过程的本质。由定性物理量组成的相似准数，相互间存在着函数关系。在考虑不可压缩流体流动的动力相似时，决定流动平衡的四种力，粘滞力、压力、重力和惯性力并非都是独立的，三个决定第四个第四节准数方程FGmFsmFpmFmFGpFspFppFpFImFIp在大多数流动问题中，通常欧拉数Eu是被动的准则数。我们将对流动起决定作用的准则数称为决定性相似准数，或称为定型相似准数；被动的准则数称为被决定的相似准数，或非定型相似准数。准则数之间的函数关系称为准则方程。Eu=f(Fr，Re)即为准则方程。多数情况只要Fr，Re相等Eu数也就相等了。第五节模型试验动力相似要求同名作用力成比例，即所有的相似准数相等，但考虑准数之间的决定与被决定关系一般不可压缩流体只要Fr，Re相等即能实现动力相似，进而运动相似。pmppmmvvglgl=pmpmvvll22=完全相似可以实现吗?很困难!!!怎没办？？vl=λλ3/2plmυυλλυ==在几何相似的前提下，所有的相似准数都相同的相似称为完全相似ppmmpmlvlvυυ=粘性系数比值分析对流动起决定性作用的力，及相应的准则数，相应的准则数相等。这种只满足主要相似准数相等的相似称为局部(或部分)相似。粘滞力起主导作用时：GB粘滞力起主导作用重力作用为主压力起主导作用时：