高三数学一轮复习教学案：三角函数

三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sinxAy的简图，理解、A、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其知识网络考纲导读高考导航任意角的三角函数三角函数两角和与差的三角函数三角函数的图象和性质角的概念的推广、弧度制任意角的三角函数的定义同角三角函数基本关系诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切y＝sinx,y＝cosx的图象和性质y＝tanx的图象和性质y＝Asin(x＋)的图象已知三角函数值求角次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角终边相同的角的集合为．2．与角终边互为反向延长线的角的集合为．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为．4．象限角是指：．5．区间角是指：．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝弧度，1º＝弧度，1弧度＝º．8．弧长公式：l＝；扇形面积公式：S＝.二、任意角的三角函数9．定义：设P(x,y)是角终边上任意一点，且|PO|＝r，则sin＝；cos＝；tan＝；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：解析式y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域值域13．三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线．基础过关－＋－+cosx,＋＋－－sinx,－＋＋－tanx,xyOxyOxyOxyO例1.若是第二象限的角，试分别确定2,2,3的终边所在位置.解：∵是第二象限的角，∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2＜k·180°+90°（k∈Z），当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜2＜n·360°+90°；当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜2＜n·360°+270°.∴2是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3＜k·120°+60°（k∈Z），当k=3n（n∈Z）时，n·360°+30°＜3＜n·360°+60°；当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜3＜n·360°+180°；当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜3＜n·360°+300°.∴3是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知是第三象限角，问3是哪个象限的角？解：∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z），60°+k·120°＜3＜90°+k·120°.①当k=3m(m∈Z)时，可得60°+m·360°＜3＜90°+m·360°（m∈Z）.故3的终边在第一象限.②当k=3m+1(m∈Z)时，可得180°+m·360°＜3＜210°+m·360°（m∈Z).典型例题故3的终边在第三象限.③当k=3m+2（m∈Z）时，可得300°+m·360°＜3＜330°+m·360°（m∈Z）.故3的终边在第四象限.综上可知，3是第一、第三或第四象限的角.例2.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin≥23;(2)cos≤21.解：（1）作直线y=23交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k+3≤≤2k+32，k∈Z.（2）作直线x=21交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为Zkkk,342322|.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=1cos2x；（2）y=lg(3-4sin2x）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x∈32,32kk（k∈Z）.（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜43,∴-23＜sinx＜23.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x（k-3,k+3）（kZ).例3.已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.解：∵角的终边在直线3x+4y=0上，∴在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222ttyx|t|,当t＞0时，r=5t,sin=5353ttry,cos=5454ttrx,tan=4343ttxy;当t＜0时，r=-5t,sin=5353ttry,cos=5454ttrx,tan=4343ttxy.综上可知，t＞0时，sin=53,cos=54,tan=43;t＜0时，sin=53,cos=-54,tan=43.变式训练3：已知角的终边经过点P2(3,)(0),sin4mmm且，试判断角所在的象限，并求costan和的值．解：由题意，得2223,,0,543mrmmmm故角是第二或第三象限角．当5m时,22r，点P的坐标为(3,5)，36515cos,tan43223xyrx当5m时,22r，点P的坐标为(3,5)，36515cos,tan43223xyrx例4.已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R．(1)若α3，R＝2cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2)若扇形周长为一定值C(C0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。)(32cmlSSS扇弓△＝3sin221232212＝)332(（cm2）扇形周长RRlRC222∴22CR∴22)22(2121CRS扇1624241244122222CCC当且仅当22＝4，即α＝2时扇形面积最大为162c．变式训练4：扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求中心角的弧度数和弦长AB．解：设扇形的半径为r，弧长为l，中心角的弧度数为α则有12142lrlr∴21lr由|α|＝rl得α＝2∴|AB|＝2·sin1(cm)1．本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系．2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些?第2课时同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角公式：(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1，1＋tan2α＝，1＋cot2α＝(2)商数关系：tanα＝，cotα＝(3)倒数关系：tanα＝1，sinα＝1，cotα＝12．诱导公式：－απ－απ＋α2π－α2kπ＋αsincos222323sincos规律：奇变偶不变，符号看象限3．同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明小结归纳基础过关同角的三角恒等式．4．诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值．例1.已知f()=)sin()tan()tan()2cos()sin(;（1）化简f();（2）若是第三象限角，且cos5123，求f()的值.解：（1）f（）=sintan)tan(cossin=-cos.（2）∵cos23=-sin,∴sin=-51,cos=-65251522,∴f()=652.变式训练1：已知A＝)(cos)cos(sin)sin(Zkkk则A构成的集合是()A．{－1,1,－2,2}B．{1,－1}C．{2,－2}D．{－2,－1,01,2}解：C例2．求值：(1)已知53)7cos(,2，求)2cos(的值．2)已知11tantan，求下列各式的值．①cossincos3sin；②2cossinsin2解：（1）54)22cos(；（2）35cossincos3sin变式训练2：化简：①)4sin()8cos(tan)5sin(，②)4cos()4sin(解：①原式＝sinθ②原式＝0例3.已知－02x，sinx＋cosx＝51．（1）求sinx－cosx的值．（2）求xxxtan1sin22sin2的值．解：(1)－57，(2)－17524变式训练3：已知sin+cos=51,∈(0,).求值：（1）tan;（2）sin-cos;（3）sin3+cos3.典型例题解方法一∵sin+cos=51,∈(0,),∴(sin+cos)2=251=1+2sincos，∴sincos=-2512＜0.由根与系数的关系知，sin,cos是方程x2-51x-2512=0的两根，解方程得x1=54,x2=-53.∵sin＞0,cos＜0,∴sin=54,cos=-53.∴（1）tan=-34.（2）sin-cos=57.（3）sin3+cos3=12537.方法二（1）同方法一.（2）（sin-cos）2=1-2sin·cos=1-2×2512=2549.∵sin＞0,cos＜0,∴sin-cos＞0,∴sin-cos=57.（3）sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=51×25121=12537.例4．已知tan=2,求下列各式的值：（1）cos9sin4cos3sin2;（2）2222cos9