2014年上海中学生数学知识应用竞赛高中组决赛

2014年上海市中学生数学知识应用竞赛（高中组）决赛学校年级姓名准考证号.题号123456总分得分本试卷共6题，每题20分1、2013年8月，上海市居民生活用水的费用计算办法进行调整，把原来的统一单价改为阶梯式单价。已知水费的计算分为供水费和排水费两部分，其中供水量等于该户居民的用水量，由各户的水表计数，排水量按用水量的90%计数。在调价前，无论用水多少，供水单价都为每立方米1.63元，排水单价都为每立方米1.30元。假如一户居民某月用水量为20立方米，那么那户居民该月的水费为1.63201.302090%56（元）。水费调价后的阶梯式单价如表1.表1居民生活用水的阶梯式单价阶梯年用水量x(立方米)供水单价（元/立方米）排水单价（元/立方米）10220x1.921.702220300x3.301.703300x4.301.70为了评估水费调价对居民生活的影响程度，市政府调查了当时居民用水量的分布状况如表2.表2年用水量分布年用水量x（立方米）0100x100200x200300x300x户数分布（%）12304018试问在这次调价中，约有百分之多少居民户的水费增长幅度不超过30％（精确到1%）。2、某次地震后一个矿区的受损情况见下图：十个黑色块状图形表示堵塞矿道的坍塌石块，旁边的数字表示应用一台挖掘机清除该障碍所需的时间(单位：天)。按初步估计，平均每一处未清除的障碍每天给矿区造成的损失为1万元。请你在以下两种情况下考虑安排清除障碍的顺序，可使经营者总损失最少？写出你的方案及求解的思路，并计算出总损失。(1).用一台挖掘机清除这些障碍;(2).用两台挖掘机清除这些障碍，但每处障碍只能由一台挖掘机清除。3、A公司与其他2家公司参与某项目竞标。价格以万元计（所报价格为1万元的整数倍）。报价低者中标。若有几家公司同样报出最低价格。则招标单位会在这几家公司中等可能的选取一家中标。A公司经过测算，完成此项目的成本为6万元，估计其他2家参与竞标的公司所报价格会在7万至11万元之间等可能分布。每家公司报价独立进行。问：A公司应该如何报价可使其获得的平均利润最大？4、出租汽车的购车成本为14万元，各项费用按期末计算，第一年为1.6万元，第二年起每年递增0.6万元；每年净收入按期末计算为7万元。设贴现率为5%，问：1）第几年后开始获利？2）第几年可以将旧车淘汰？5、某金融基金公司有A、B、C三个团队，分别设计三个基金产品。现该公司本年内拟将5亿元人民币金额分配给这三个团队。投资金额每份以1亿元为单位，公司评估各团队利用这些单位金额可为公司产生利润（单位百万元）为如下表所示：团队投资ABC00001354269739121041112115141211试建立分配金额方案给这三个团队的数学模型，使年内获得的总利润最大。制定所有的分配最优方案，最大利润值是多少?6、一湖泊中鱼的自然增长率为)1(Mxr，即若今年初鱼的总数为x，一年后鱼的总数变为xMxrxy)1(。又设该湖渔业生产的年捕捞率为E，即一年中捕捞鱼的数量为Ex（条）。若0.1r,1000000M，求使每年捕捞量最大的且可持续的捕捞率和相应的捕捞量。