幂函数一对一辅导讲义

教学目标1、掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。2、能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。重点、难点从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用，引导学生概括出幂函数的性质。考点及考试要求考点1：幂函数的概念考点2：指数函数与幂函数的性质考点3：指数函数与幂函数的区别教学内容第一课时幂函数知识盘点一、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展你的思维．二、幂函数解题思想（一）分类讨论的思想例1已知函数223nnyx()nZ的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y轴无公共点，故2230nn≤，又图象关于y轴对称，则223nn为偶数，由2230nn≤，得13n≤≤，又因为nZ，所以0123n，，，．当0n时，2233nn不是偶数；当1n时，2234nn为偶数；当1n时，2230nn为偶数；当2n时，2233nn不是偶数；当3n时，2230nn为偶数；所以n为1，1或3．此时，幂函数的解析为0(0)yxx或4yx，其图象如图１所示．（二）数形结合的思想例2已知点(22)，在幂函数()fx的图象上，点124，，在幂函数()gx的图象上．问当x为何值时有：（１）()()fxgx；（２）()()fxgx；（３）()()fxgx．分析：由幂函数的定义，先求出()fx与()gx的解析式，再利用图象判断即可．解：设()mfxx，则由题意，得2(2)m，∴2m，即2()fxx．再令()ngxx，则由题意，得1(2)4n，∴2n，即2()(0)gxxx．在同一坐标系中作出()fx与()gx的图象，如图2所示．由图象可知：（1）当1x或1x时，()()fxgx；（2）当1x时，()()fxgx；（3）当11x且0x时，()()fxgx．小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中()gx的隐含条件0x．（三）转化的数学思想例3函数1224(42)(1)ymxxmmmx的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（）．Ａ．(512)，Ｂ．(51)，∞Ｃ．(22)，Ｄ．(1515)，解析：要使函数1224(42)(1)ymxxmmmx的定义域是全体实数，可转化为2420mxxm对一切实数都成立，即0m且244(2)0mm．解得51m．故选（Ｂ）第二课时幂函数习题精讲幂函数中的三类讨论题：所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现．类型一：求参数的取值范围例1已知函数223()()mmfxxmZ为偶函数，且(3)(5)ff，求m的值，并确定()fx的解析式．分析：函数223()()mmfxxmZ为偶函数，已限定了223mm必为偶数，且mZ，(3)(5)ff，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定()fx的解析式．解：∵()fx是偶函数，∴223mm应为偶数．又∵(3)(5)ff，即22232335mmmm，整理，得223315mm，∴2230mm，∴312m．又∵mZ，∴0m或1．当m=0时，2233mm为奇数（舍去）；当1m时，2232mm为偶数．故m的值为1，2()fxx．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．类型二：求解存在性问题例2已知函数2()fxx，设函数()[()](21)()1gxqffxqfx，问是否存在实数(0)qq，使得()gx在区间4，∞是减函数，且在区间(40)，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．解：∵2()fxx，则42()(21)1gxqxqx．假设存在实数(0)qq，使得()gx满足题设条件，设12xx，则4242121122()()(21)(21)gxgxqxqxqxqx22122112()()[()(21)]xxxxqxxq．若124xx，，∞，易知120xx，210xx，要使()gx在4，∞上是减函数，则应有2212()(21)0qxxq恒成立．∵14x，24x≤，∴221232xx．而0q，∴2212()32qxxq.．从而要使2212()21qxxq恒成立，则有2132qq≥，即130q≤．若12(40)xx，，，易知1221()()0xxxx，要使()fx在(40)，上是增函数，则应有2212()(21)0qxxq恒成立．∵140x，240x，∴221232xx，而0q，∴2212()32qxxq．要使2212()21qxxq恒成立，则必有2132qq≤，即130q≥．综上可知，存在实数130q，使得()gx在4，∞上是减函数，且在(40)，上是增函数．评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况例3讨论函数2221()kkykkx在0x时随着x的增大其函数值的变化情况．分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．解：（1）当20kk，即0k或1k时，0y为常函数；（2）当2210kk时，12k或12k，此时函数为常函数；（3）220210kkkk，，即012k时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；（4）当220210kkkk，，即1k或12k时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；（5）当220210kkkk，，即120k时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；（6）当220210kkkk，，，即112k时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小．评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．第三课时幂函数巩固练习例1若11(1)(32)mm，试求实数m的取值范围．正解（分类讨论）：（1）10320132mmmm，，，解得2332dm；（2）10320132mmmm，，，此时无解；（3）10320mm，，，解得1m．