北京理工大学理学院力学系 工程力学课件 5 梁的内力 剪力弯矩方程

工程力学（C）北京理工大学理学院力学系韩斌(22)常见梁的横截面形式对称弯曲或平面弯曲:梁有一纵向对称面，外力作用在对称面内，梁变形后，轴线仍在该对称面内；5.梁的内力剪力弯矩方程剪力弯矩图xMqF1F2Fq简支梁F外伸梁悬臂梁M常见的几种简单静定梁：梁横截面上的内力符号规定:qxBAAFBFlxFSxMqBBFxFSxMxxqAAF剪力SF弯矩M为正MMSF为正SFC对x截面用截面法切开，C为截面形心，0iyF0SAFqxF以AB梁整体为对象，可求A处和B处的约束力：2qlFFBA（）qxqlxFS2)(0iCM02)(xFqxxxMA22)(2qxqlxxM取左半段为分离体：2maxqlFS2max81qlMqxBAAFBFl（M）281qlqxqlxFS2)(22)(2qxqlxxMlx0lx0该梁内力方程为：（FS）2ql2ql例题1§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题简支梁在中点处受集中力偶作用，左半段有均布载荷，试求A+，C-，C+，B-各面上的内力并列出剪力和弯矩方程。ABq2qaaCa例题1§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题解：1.建立x轴（向右为正），以整体为对象求出支座约束力：)(45223022qaaqaqaFMABABq2qaaCaAFBF)(410qaqaFFFAByx2.求指定截面的内力：A+面：AFSFM045MqaFFAS例题1§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题C-面：AFMSFC+面：AFSFM2qaB-面：ABq2qaaCaAFBFxBFSFM041MqaFFBS222412141qaqaqaaFMqaqaFFAAS22432141qaqaaFMqaqaFFAAS例题1§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题M(x1))(1xFSABq2qaaCaAFBFxBF)(2xFSM(x2)3.列内力方程应分为两段：AC段：AFx1)0(245)()0(45)(12111111axqxqaxxMaxqxqaxFSCB段：x2)2()2(4)2()()2(4)(222222axaxaqaxaFxMaxaqaxFBS用截面法求任意截面上的内力时：解题指导（1）对静定结构先求出全部约束力。（2）用截面法切开取任意一半为分离体，截面上的各未知内力分量一律设为正向。（3）列平衡方程求出各内力分量的大小。（4）列内力方程注意正确分段，分段点截面又称为控制面。（5）注意内力分量的正负符号规定：以变形定正负，与外力分量以坐标轴方向定正负不同。6.梁的载荷集度q,剪力FS,弯矩M之间的微分关系dxxq(x)xlAFBFABSFSSdFFM+dMM设x轴向右为正，q(x)向上为正在x截面处切取dx梁段0iyF0)()(SSSdFFdxxqFq(x)Cdx)(xqdxdFS0iCM0)(2)(dMMdxdxxqdxFMSSFdxdM（见§13.2,§13.3）SFdxdM)(xqdxdFS)(22xqdxMd(9.3)7.利用微分关系绘制剪力弯矩图根据微分关系（9.3）式，可推断FS图、M图各段曲线的斜率（曲线走向）及M图的曲率（弯曲形状），再结合分段点（控制面）的内力数值，就可确定全部内力图。FS为平行于轴线的直线，M为斜率是FS的斜直线。根据微分关系绘图原则：SFdxdM)(xqdxdFS)(22xqdxMd（1）某段梁若q(x)=0,则FS=常数，M=一次函数（2）若q(x)=常数=q,则FS=一次函数，M=二次函数FS为斜率是q的斜直线，M为抛物线：当q0,当q0,q=0FSMq0q0(3)若某截面处FS=0SFdxdM)(xqdxdFS)(22xqdxMd则该截面上M取极值：当q0,M取到极小值当q0,M取到极大值（4）集中力F作用处，FS突变，跳跃值为F，M有尖点；集中力偶M作用处，M突变，跳跃值为M，FS不受影响。FFMMFSq0Mq0（5）在梁的左右两个端面上作用的集中力、集中力偶，就是该截面上的FS，M利用微分关系作内力图步骤：（1）以整体为对象求支座约束力。（2）根据外力的作用点正确分段，分段点为控制面。（3）利用截面法求控制面上的FS，M，得到控制点。（4）分段判断各段曲线形状，连接各控制点。（5）各控制点数值标绝对值。（6）内力图突变处向上突变还是向下突变，视该集中载荷对未画部分的作用是正作用还是负作用而定。（7）凡FS=0和M=0的截面，要标出其x坐标位置例题2§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题2qaqqa2aaaABCD外伸梁受力如图，绘制剪力弯矩图，并求和maxSFmaxM例题2§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题2qaqqa2aaaABCD解：1.求约束力BFDF)(2723222qaaqaaqaaaqFB)(21274qaqaqaFD2.作内力图2qaqa23qa212a22qa2qa22qaMB222212227qaqaaqaqaMC222818141qaqaqaME281qaESF()(M)例题2§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题2qaqqa2aaaABCDBFDF2qaqa23qa212a22qa2qa281qaE3.求内力的最大值从图中可见：qaFS2max2max2qaM(M)SF()例题3§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题a2aq2qaABC悬臂梁受力如图，作剪力弯矩图，并求和。maxSFmaxM例题3§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题a2aq2qaABC解：1.求约束力FCMC)(2322qaqaqaFC23222qaaqaaqaMC()22qaMB2.作内力图SF()(M)2qa23qaa2322qa8543232232322maxqaaaqqaaqaM22qa852qaMMAXMCFCq例题3§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题3.求内力的最大值设距右端xE处M=023qa852qaa2aq2qaABCFCMSF()(M)2qaa2322qa22qaxEFCMxE022232EEExqxqaxqa0322aaxxEEaaaxE253253从图中可见：qaFS23max2max85qaM例题4§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题ABCDqqa2a2aa带有中间铰的梁，受力如图，作剪力弯矩图。例题4§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题ABCDqqa2a2aa解：1.求约束力此梁仍为静定，因有中间铰，必须在中间铰处切开才可求全部约束力。ABqa2aaCDq2aCFDF)(22qaqaFFDC对CD：BFCFAF对ABC：)(qaFC)(3232qaaaqaFB)(23qaqaqaFA例题4§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题2.作内力图SF()(M)qa2qaqaqaa22qaMB22qa221qa222maxqaaqaaqaM注意：中间铰处0CMABCDqqa2a2aaqa3qaqa思考题比较以下两梁的内力图：ABCBCMMAMABCaaaaMA=MABCMMA=MaMFCaMFBBFaMFASF()(M)SF()(M)MaMMM8.平面刚架的内力图平面刚架——轴线由几段直线构成折线，折点为刚节点（保持夹角不变）的平面框架结构。刚架横截面上的内力——轴力，剪力，弯矩MNFSF主要内力分量有时可忽略刚架内力及内力图画法的规定：（1）刚架任意截面上的内力分量可用截面法求得。（2）轴力图、剪力图可画在刚架任一侧，标出正负号（仍规定FN拉为正，FS为正）。（3）弯矩图的绝对值画在刚架受压一侧，不标正负号。（4）刚架的各直线段画内力图与梁的画法类似。例题4§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题ABCD1m1m4kN·m5kN2m求作图示刚架的内力图。例题4§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题ABCD1m1m4kN·m5kN2m解：1.求约束力DFAxFAyF))((321214kNFD))((221kNFAx)(235kNFAy例题4§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题ABCD1m1m4kN·m5kN2m3kN2kN2kN2.作内力图(FN)轴力图：2kN2kNkNFN2AB段例题4§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题ABCD1m1m4kN·m5kN2m3kN2kN2kN剪力图：(FS)2kN3kN2kN2kNAFSB-FNB-MB-0212SBF例题4§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题ABCD1m1m4kN·m5kN2m3kN2kN2kN(M)2kN2kNAFSB-FNB-MB-mkNMB2121222kN·m3kNSCFMC-MC-=3-4=-1kN·m1kN·m3kN·m2/3m弯矩图：9.利用对称性与反对称性简化作图若结构关于某一轴：（1）结构几何对称，约束对称，载荷对称——则FS图反对称，FN图和M图对称。（2）结构几何对称，约束对称，载荷反对称——则FS图对称，FN图和M图反对称。例题5§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题求作内力图。aaaaqqqa/2ABC例题5§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题解：1.求约束力aaaaqqqa/2ABC)(4522/qaqaqaqaFFBAAFBF例题5§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题2.作内力图221qaMAaaaaqqqa/2ABC45qa45qa2412345qaaqaaqaMCSF()(M)qaFSAqaqa/4qa/4qa221qa221qa241qaA-MAFSA-_MCFSC-_C-5qa/4例题6§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题3aaaaFaFaFFABCD求作图示刚架的内力图。例题6§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题3aaaaFaFaFFABCD解：1.求约束力AFDF33FaFaFaFaFFDA例题6§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题3aaaaFaFaFFABCD2.作内力图3F3F轴力图：(FN)F/3F/3例题6§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题3aaaaFaFaFFABCD3F3F剪力图：(FS)F/3F/34F/3例题6§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题3aaaaFaFaFFABCD3F3F弯矩图：(M)FaFa2Fa/32Fa/3Fa10.用叠加法作内力图ABCqqaPaa2ABCqaPPM2qaABCq221qaqM++qa/23qa/2qaa/2MMMqP2a281qa2qaMa11.平面曲杆2FAOBaF曲杆横截面上的内力规定：轴力：FN拉为正剪力：FS使曲杆微元顺时针转动为正弯矩：M使曲杆轴线曲率增加为正NFSFM例如：半径为a的1/4圆弧曲杆，在截面处切开：内力方程为：sin)cos1(2cossin2sincos2FRFRMFFFFFFSN曲杆：轴线为曲线的杆件极值点：0sin2cos00PaPaddM210tgo6.260FaM236.00曲杆的弯矩图：FaAB6.26Fa263.0Msin2)cos1(FRFRM(各点的内力数值在垂直于杆轴的方向上取值）例题7§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题一端固定的直角曲杆，位于水平面内，受力如图，已知：N=2P,画出该曲杆的内力图。例题7§9变形体静力学概述及一般杆件内力分析例题解：1.求