空间向量的标准正交分解与坐标表示

我们学习过平面向量的标准正交分解和坐标表示.在空间中,如何确定向量的坐标呢?PACOBDzxyijk.,,,,,,,aOPazyxkji作是空间任意向量设轴正方向上的单位向量轴轴为直角坐标系中令在给定的坐标系中aDPADOAOP有根据向量的加法运算,PACOBDzxyijkDPADOAOP有根据向量的加法运算,OCOBOAkzOCjyOBixOA,,根据向量共线定理kzjyixOP所以,,,,,,,ijkxyza在给定的空间直角坐标系中令分别为轴轴轴正方向上的单位向量对于空间任意向量(,,),xyzaxiyjzk存在唯一一组三元有序实数使得。.,,,叫做标准正交基把的标准正交分解叫做我们把kjiakzjyixa.),,().,,(.),,(的坐标表示叫做向量记作的坐标叫做空间向量azyxazyxaazyx).,,(),,,(,zyxOPzyxP的坐标也是向量的坐标为点在空间直角坐标系中.)2(;,,,)1(.5,3,2,,.11111111的坐标求的分解式关于给出的坐标写出体在直角坐标系中有长方如图例ADkjiACCAABCABDCBAABCDC1DA1OBCzxy(A)D1B1C1DA1OBCzxy(A)D1B1解:(1)因为AB=2,BC=3,AA1=5所以C1为(3,2,5)kjiAC523)5,2,3(1从而(2)因为点D1为(3,0,5))5,0,3(1AD所以.)2(;,,,)1(.5,3,2,,.111111111的坐标求的分解式关于给出的坐标写出体在直角坐标系中有长方如图练习BDkjiABBAABCABDCBAABCDC1DA1OBCzxy(A)D1B1(1)B1为(0,2,5)kjAB521(2)(3,-2,5)ikzijyiixikzjyixiakzjyixa)(,那么设00,,1||2ikjijiiii同理而由于zkayjaxia,同理所以,,,,.aixajyakzaxyz我们把分别称为向量在轴轴轴正方向上的投影.,cos||,,00上的投影在向量为向量称的单位向量为若一般地babaababb.标轴正方向上的投影向量的坐标等于它在坐AD1C1B1A1DCB例2.如图,已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,求;)1(1上的投影在向量CBCA1||cos||;)1(:111CBCBACACBCA上的投影在向量解AD1C1B1A1DCB例2.如图,已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,求.,,)2(111上的投影在求向量且垂直于平面是单位向量BCCAAABBBC1||)cos(||)2(:111CBCBACABCCA上的投影为在向量解AD1C1B1A1DCB练习2.如图,已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,求1CACA向量在上的投影。111:||cos||2CACACAACBCA解向量在上的投影：。向量a在向量b上的投影小结空间向量的坐标表示