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部分习题解答第3章3.1[9.6619.32391]TA=Trans（11.0，-3.0，9.0）Rot（Z，30°）3.2H=Rot(Y0,60)Rot(X0,30)Rot(Z0,45)=3.33.53.63.73.8θ10º30º60º90ºd2/m0.50.810.7MX0.50.6930.50MY00.40.8660.73.11A1=Rot(Z,θ1)Trans(1,0,0)Rot(X,0º)=A2=Rot(Z,90º-θ2)Trans(l,0,0)Rot(X,90º)3.13A1=Rot(Z,θ1)Trans(0,0,L1+L2)Rot(X,90º)=A2=Rot(Z,θ2)Trans(L3,0,0)Rot(X,0º)=A3=Rot(Z,θ3)Trans(L4,0,0)Rot(X,0º)=第4章4.1质量为m、质心在C点的刚体，作用在其质心的力F的大小与质心加速度aC的关系为F=maC，称为牛顿方程。式中F、aC为三维矢量。若欲使刚体得到角速度ω、角加速度ε的转动，则作用在刚体上力矩M的大小为M=CIε+ωCIω，称为欧拉方程。式中：M、ε、ω均为三维矢量；CI为刚体相对于原点通过质心C并与刚体固结的刚体坐标系的惯性张量。4.2对于任何机械系统，拉格朗日函数L的定义为系统总的动能Ek与总的势能Ep之差，即L=Ek－Ep由拉格朗日函数L所描述的系统动力学状态的拉格朗日方程（简称L-E方程，Ek和Ep可以用任何方便的坐标系来表示）为Fi式中，Fi是n个关节的驱动力或力矩矢量。考虑式中不显含，上式可写成：Fi采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立机器人连杆系统动力学方程，对机器人连杆系统位姿和运动状态进行描述。用拉格朗日方法建立机器人动力学方程的步骤为：（1）计算任一连杆上任一点的速度；（2）计算各连杆的动能和机器人的总动能；（3）计算各连杆的势能和机器人的总势能；（4）建立机器人系统的拉格朗日函数；（5）对拉格朗日函数求导，得到动力学方程式。4.3对于复杂一些的多自由度机器人，动力学方程庞杂，推导过程更为复杂，且对机器人实时控制也更为困难。通常对动力学方程进行如下简化：（1）当杆件质量不很长、重量轻时，动力学方程中的重力矩项也可以省略；（2）当机器人不是高速机器人，关节速度不很大时，含有速度一阶微分的二次项可省略；（3）当关节加速度不很大，即关节升降速不是很突然时，加速度的一阶微分项可省略。4.4空间分辨率是描述机器人工具末端运动所达到的最小运动增量，是机器人控制系统的一个重要特性指标，是描述机器人工具末端运动的一个重要因素。空间分辨率由机械偏差和控制分辨率构成。为了确定空间分辨率，机器人各关节的工作范围由控制增量数来区分，通常用各控制部件的分辨率、各机械部件的偏差和某个任意的从未接近的固定位置（目标）三个指标来综合描述机器人的精度。4.5定位精度和重复定位精度的典型情况如题4.5图所示。机器人的精度是指定位精度和重复定位精度。定位精度是指机器人手部实际到达位置与目标位置之间的差异，描述一定空间分辨率下机器人对某个固定目标位置的定位能力。重复定位精度是指机器人重复定位其手部于同一目标位置的能力，描述工具末端自动返回某个预先示教过的位置时所产生的定位误差；重复定位精度可用标准偏差来表示。重复性确定机器人在生产中第二次和以后各次作业时能否足够接近地到达目标位置，因此控制机器人的精度与重复定位精度在机器人控制中有着重要意义。4.6机器人稳态负荷（包括力和力矩）的研究包括以下内容：（1）静力和力矩表示法；（2）不同坐标系间静负荷的变换；（3）确定机器人静态关节力矩；（4）由关节力矩确定机器人所载物体的质量。4.7对于一台由计算机控制的机器人，要获得良好的重复性，就必须对工具位置的记录进行处理，处理步骤如下：（1）返回解。把几个关节位置变换为一个工具位置，并存储。（2）位置进行变换。用平移、旋转或改变比例等有效方法，对工具位置进行变换。（3）手臂解。把所变换的工具位置变换回为一组关节位置。4.8（1）用拉格朗日动力学推导位移X表示系统变量。由于这是一个单自由度系统，所以只要一个方程就可描述系统的运动，即拉格朗日函数的导数为，，于是求得小车的运动方程为（2）用牛顿力学推导列出受力方程如下：4.9本题中，系统有两个自由度和两个坐标x和θ，因此系统有两个运动方程：一个描述系统的直线运动，另一个描述摆的角运动。系统的动能包括车和摆的动能。需要注意，摆的速度是小车速度及摆相对车速度的合成，它可表示为于是同样的，系统的势能是弹簧和摆的势能之和，可表示为基准线选择在θ=0°处，于是拉格朗日方程为和直线运动有关的导数及运动方程为对于旋转运动，有将以上两个运动方程写成矩阵形式，有4.10首先计算系统的动能和势能：式中：为计算，首先列出m2的位置方程，然后对其求导得到m2的速度为由于，于是于是第2个质量块m2的动能为系统的总动能为系统的势能可表示为基准线选择在坐标轴上的转动轴O点处，系统的拉格朗日函数为第一个动力学方程为同理，有将以上两个方程写成矩阵的形式可得4.11首先通过对连杆2的质心位置求导得到其速度为，，于是，连杆2的质心总速度为（1）系统的总动能是连杆1和连杆2的动能之和。由连杆绕定轴转动（对连杆1）和绕质心转动（对连杆2）的动能计算方程，可以得出：（2）将式（1）代入式（2），并整理得系统的势能是两连杆势能之和，即双连杆机器人手臂的拉格朗日函数为对该拉格朗日函数求导并代入拉格朗日方程，得下面两个运动方程：4.12机器人速度雅可比J是一个把关节速度向量变换为手爪相对基坐标的广义速度向量v的变换矩阵，即。机器人力雅可比JT是手部端点力F和广义关节力矩τ之间的映射线性关系，与手部端点力F和广义关节力矩τ之间的力传递有关，即。显然，机器人力雅可比JT是速度雅可比J的转置矩阵。4.13根据，得则，即4.14此自由度机械手末端的坐标为故此机械手的雅可比矩阵为故有将已知条件代入上式，得即=117.6N·m，=78.4N·m，=0。4.15此机械手的雅可比矩阵为于是，根据可先求出为则（1），，，即=-2m/s，=1m/s。（2），，，即=1.63m/s，=2.79m/s。（3），，，即=-4m/s，=9.464m/s。4.16依题意，此机械手末端的坐标为故此机械手的雅可比矩阵为于是，由得于是第5章5.3根据要求，对该关节采用三次多项式插值函数来规划其运动。已知，，，将其代入可得三次多项式的系数a0=-5，a1=0，a2=15.9，a3=-2.656。由式可确定该关节的运动轨迹，即三次多项式插值的运动轨迹如题5.3解图所示。57.tif题5.3解图