初二数学辅助线专题

辅助线专题常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。五、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目构造全等三角形几种方法一、延长中线构造全等三角形例1.如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。二、沿角平分线翻折构造全等三角形例2.如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。三、作平行线构造全等三角形例3.如图5，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。四、作垂线构造全等三角形例4.如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M是AC边的中点。AD⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC。五、沿高线翻折构造全等三角形例5.如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。六、绕点旋转构造全等三角形例6.如图11，正方形ABCD中，∠1＝∠2，Q在DC上，P在BC上。求证：PA＝PB＋DQ。例7.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是cm.8．如图，两个边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积()A．不变B．先增大再减小C．先减小再增大D．不断增大七、截长法与补短法，例7：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证：CD=AD+BC。MADBCOEFGN练习12．（4分）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为3，则点B到AC的距离是（）A．5B．C．D．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．菁优网版权所有专题：计算题．分析：过A作AD⊥l3于D，过B作BF⊥AC于F，过C作CE⊥l3于E，则BF的长就是点B到AC的距离，根据AAS证△DAB≌△EBC，求出BE=3，根据勾股定理求出BC、AB、AC，根据三角形的面积即可求出答案．解答：解：过A作AD⊥l3于D，过B作BF⊥AC于F，过C作CE⊥l3于E，则BF的长就是点B到AC的距离∵AD⊥l3，CE⊥l3，∴∠ADB=∠ABC=∠CEB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，∴∠DAB=∠CBE，在△DAB和△EBC中，∴△DAB≌△EBC，∴AD=BE=3，∵CE=3+1=4，在△CEB中，由勾股定理得：AB=BC=5，AC=5，由三角形的面积公式得：S△ABC=AB×BC=AC×BF，即5×5=5BF，即BF=，故选C．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰直角三角形，勾股定理等知识点的应用，关键是正确作辅助线后能求出BE、AB、BC、AC的长，主要考查了学生的推理能力和计算能力．18．（4分）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．解答：解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，∵AC=1，∴DE=．故答案为：．18．如图，在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°=2∠ECB，BD⊥CD，则（2BD）2=16﹣8．【考点】勾股定理．【分析】延长BD至F，使得DF=BD，连结CF交AB于G．根据中垂线的性质和等腰直角三角形的判定和性质得到CF=2，BG=CG=2，根据线段的和差求得FG=2﹣2，在Rt△BGF中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：延长BD至F，使得DF=BD，连结CF交AB于G．∵BD⊥CD，DF=BD，∴CF=CB=2，∠DCF=∠ECB，∵∠ABC=45°=2∠ECB，∴∠BCG=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∵BC=2，∴BG=CG=BC=2，∴FG=2﹣2，在Rt△BGF中，（2BD）2=BF2=BG2+FG2=22+（2﹣2）2=16﹣8．故答案为：16﹣8．【点评】考查了勾股定理，中垂线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，本题关键是作出辅助线构造直角三角形，难度较大．24．正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BF⊥AE，交CD于F点，交AE于G点，连结GD，过A点作AH⊥GD交GD于H点.(1)求证：△ABE≌△BCF；(2)若正方形边长为4，AH=516，求△AGD的面积.24.证明：(1)正方形ABCD中，∠ABE=90°，∴∠1+∠2=90°，又AE⊥BF，∴∠3+∠2=90°，则∠1=∠3（2分）又∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC在△ABE和△BCF中，BCFABE31BCAB∴△ABE≌△BCF(ASA)（5分）[来源:z,zs,tep.com]（2）延长BF交AD延长线于M点，∴∠MDF=90°（6分）由（1）知△ABE≌△BCF，∴CF=BE∵E点是BC中点，∴BE=21BC，即CF=21CD=FD，在△BCF和△MDF中，FDFCDFCFMDFBCFMB∴△BCF≌△MDF(ASA)∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中点（8分）又AG⊥GM，即△AGM为直角三角形，∴GD=21AM=AD又正方形边长为4，∴GD=4S△AGD=21GD·AH=21×4×516=5321、在△ABC中，AB=AC，D为射线BC上一点，DB=DA，E为射线AD上一点，且AE=CD,连接BE。（1）如图2，若BE=2CD，连接CE并延长，交AB于点F，求证：CE=2EF.（2）如图3，若BE⊥AD，垂足为点E,求证：2221144AEBEAD24．如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE．（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长；（2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE；（3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=AC=AE，AC=2DE=2，AE=1，由勾股定理求出AB，得出BC，即可得出结果；（2）连接AF，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出△ABD是等腰直角三角形，得出∠DAB=∠DBA=45°，∠3=22.5°，由ASA证明△ADF≌△BDF，得出AF=BF，∠2=∠3=22.5°，证出△AEF是等腰直角三角形，得出AF=AE，即可得出结论；（3）作DH⊥DE交BE于H，先证明△ADE≌△BDH，得出DH=DE，AE=BH，证出△DHE是等腰直角三角形，得出∠DEH=45°，∠3=45°，由翻折的性质得出DE=GE，∠3=∠4=45°，证出DH=GE，DH∥GE，证出四边形DHEG是平行四边形，得出DG=EH，即可得出结论．【解答】（1）解：如图1所示：∵AB=BC，BE⊥AC，∴AE=CE，∠AEB=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴DE=AC=AE，∴AC=2DE=2，AE=1，∴AB==，∴BC=，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+2；（2）证明：连接AF，如图2所示：∵AB=BC，BE⊥AC，∴∠3=∠4，∵∠ADC=90°，AD=BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴∠3=22.5°，∵∠1+∠C=∠3+∠C=90°，∴∠1=∠3=22.5°，∵DF平分∠ABD，∴∠ADF=∠BDF，在△ADF和△BDF中，，∴△ADF≌△BDF（SAS），∴AF=BF，∠2=∠3=22.5°，∴∠EAF=∠1+∠2=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE，∵DE=AE，∴BF=DE；（3）解：BE=DG+AE；理由如下：作DH⊥DE交BE于H，如图3所示：∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°，∴∠1=∠2，∴∠ADE=90°﹣∠ADH=∠BDH，在△ADE和△BDH中，，∴△ADE≌△BDH（ASA），∴DH=DE，AE=BH，∴△DHE是等腰直角三角形，∴∠DEH=45°，∴∠3=90°﹣∠DEH=45°，∵△ACD翻折至△ACG，∴DE=GE，∠3=∠4=45°，∴∠DEG=∠EDH=90°，DH=GE，∴DH∥GE，∴四边形DHEG是平行四边形，∴DG=EH，∴BE=EH+BH=DG+AE．2、已知：正方形ABCD中，45MAN，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CBDC，（或它们的延长线）于点MN，．当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图1），易证BMDNMN．（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BMDN，和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BMDN，和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．BBMBCNCNMCNM图1图2图3AAADDD