专题1.3-等式与不等式---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)

1第一篇集合与不等式专题1.03等式与不等式的性质【考试要求】梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.【知识梳理】1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b0⇔ab，a－b＝0⇔a＝b，a－b0⇔ab.(2)作商法ab1（a∈R，b0）⇔ab（a∈R，b0），ab＝1⇔a＝b（a，b≠0），ab1（a∈R，b0）⇔ab（a∈R，b0）.2.等式的性质(1)对称性：若a＝b，则b＝a.(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.3.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2).【微点提醒】1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.2.有关分数的性质(1)若ab0，m0，则bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0).2(2)若ab0，且ab⇔1a1b.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)a＝b⇔ac＝bc.()(3)若ab1，则ab.()(4)0axb或axb0⇒1b1x1a.()【教材衍化】2.(必修5P74例1改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ad＞bcB.ad＜bcC.ac＞bdD.ac＜bd3.(必修5P75A2(2)改编)比较两数的大小：7＋10______3＋14.【真题体验】4.(2018·衡阳联考)若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A.ac2bc2B.1a1bC.baabD.a2abb235.(2017·北京卷改编)能够说明“设a，b，c是任意实数，若abc，则a＋bc”说法不正确的一组整数a，b，c的值依次为________.6.(2019·运城模拟)若－π2αβπ2，则α－β的取值范围是________.【考点聚焦】考点一比较两个数(式)的大小【例1】(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A.c≥baB.ac≥bC.cbaD.acb(2)已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A.MNB.MNC.M＝ND.不确定(3)(一题多解)若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则()A.abcB.cbaC.cabD.bac4【规律方法】1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.【训练1】(1)若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3________a2b＋ab2(用符号、、≥、≤填空).(2)若0ab，且a＋b＝1，则将a，b，12，2ab，a2＋b2从小到大排列为________________.考点二不等式的性质【例2】(1)已知a，b，c满足cba，且ac0，那么下列选项中一定成立的是()A.abacB.c(b－a)0C.cb2ab2D.ac(a－c)0(2)(一题多解)若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④5【规律方法】解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.【训练2】(1)(2019·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)设ab1，c0，给出下列三个结论：①cacb；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c).其中所有正确结论的序号是()A.①B.①②C.②③D.①②③考点三不等式及其性质的应用角度1不等式在实际问题中的应用【例3－1】(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________.6②该小组人数的最小值为________.角度2利用不等式的性质求代数式的取值范围【例3－2】(经典母题)已知－1x4，2y3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.【迁移探究1】将本例条件改为“－1xy3”，求x－y的取值范围.【迁移探究2】将本例条件改为“已知－1x－y4，2x＋y3”，求3x＋2y的取值范围.【规律方法】1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.【训练3】(1)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：甲乙维生素A(单位/kg)600700维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各xkg、ykg配成至多100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生7素A和62000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为________.(2)(2019·青岛测试)已知实数a∈(1，3)，b∈18，14，则ab的取值范围是________.【反思与感悟】1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.【易错防范】1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.形如例3－2探究2题型的解决途径：先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式为()A.v40km/hB.v40km/hC.v≠40km/hD.v≤40km/h2.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是()A.f(x)＝g(x)B.f(x)＞g(x)C.f(x)＜g(x)D.随x的值变化而变化83.若a，b都是实数，则“a－b0”是“a2－b20”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若a，b∈R，且a＋|b|0，则下列不等式中正确的是()A.a－b0B.a3＋b30C.a2－b20D.a＋b05.(2019·北京东城区综合练习)已知x，y∈R，那么“xy”的充要条件是()A.2x2yB.lgxlgyC.1x1yD.x2y26.(2018·湖州质检)若实数m，n满足mn0，则()A.－1m－1nB.m－nm－nC.12m12nD.m2mn7.已知0a1b，且M＝11＋a＋11＋b，N＝a1＋a＋b1＋b，则M，N的大小关系是()A.MNB.MNC.M＝ND.不能确定98.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.且0f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则()A.c≤3B.3c≤6C.6c≤9D.c9二、填空题9.(必修5P75A2改编)15－2________16－5(填“”“”或“＝”).10.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.11.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题：①若ab0，bc－ad0，则ca－db0；②若ab0，ca－db0，则bc－ad0；③若bc－ad0，ca－db0，则ab0.其中正确的命题是________(填序号).12.已知a0，b0，a≠b，则aabb与(ab)a＋b2的大小关系是________.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)13.已知0ab，且a＋b＝1，则下列不等式中正确的是()10A.log2a0B.2a－b12C.log2a＋log2b－2D.2ab＋ba1214.(2019·江门模拟)设a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝a，a≤b，b，ab，a⊕b＝b，a≤b，a，ab.若m⊗n≥2，p⊕q≤2，则()A.mn≥4且p＋q≤4B.m＋n≥4且pq≤4C.mn≤4且p＋q≥4D.m＋n≤4且pq≤415.已知存在实数a满足ab2aab，则实数b的取值范围是________.16.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且abc，求ca的取值范围.【新高考创新预测】17.(多选题)下列四个条件，能推出1a＜1b成立的有()A.b＞0＞aB.0＞a＞bC.a＞0＞bD.a＞b＞0