搜索
1第一篇集合与不等式专题1.02常用逻辑用语【考试要求】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对特称命题进行否定.【知识梳理】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.3.全称命题和特称命题(命题p的否定记为p，读作“非p”)名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)【微点提醒】1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同.2.A是B的充分不必要条件⇔B是A的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.【疑误辨析】21.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若已知p：x1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.()(2)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()【教材衍化】2.(选修2－1P26A3改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A.∃x0∈R，x02＋x0≤0B.∃x0∈R，x02＋x00C.∀x∈R，x2＋x≤0D.∀x∈R，x2＋x03.(选修2－1P12A4改编)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过原点的一个充要条件是______________.【真题体验】4.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p：∃n∈N，n22n，则p为()A.∀n∈N，n22nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2＝2n5.(2018·天津卷)设x∈R，则“x－1212”是“x31”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件36.(2019·济南调研)“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－1x＋a为奇函数”的________条件.【考点聚焦】考点一充分条件与必要条件的判断【例1】(1)(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2019·华大新高考联盟质检)设函数f(x)＝2mx＋1，x≥0，－x－1x，x0.则“m1是f[f(－1)]4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【规律方法】充要条件的两种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.4【训练1】(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点二充分条件、必要条件的应用典例迁移【例2】(经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.【迁移探究1】本例条件不变，若x∈P是x∈S的必要不充分条件，求m的取值范围.【迁移探究2】本例条件不变，若x∈P的必要条件是x∈S，求m的取值范围.【迁移探究3】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.5【规律方法】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件.【训练2】(2019·临沂月考)设p：实数x满足x2－4ax＋3a20，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－80.若a0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.考点三全称量词与存在量词角度1全(特)称命题的否定【例3－1】(1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*，f(n)N*且f(n)＞nB.∀n∈N*，f(n)N*或f(n)＞nC.∃n0∈N*，f(n0)N*且f(n0)＞n0D.∃n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)＞n0(2)(2019·德州调研)命题“∃x0∈R，1f(x0)≤2”的否定形式是()A.∀x∈R，1f(x)≤2B.∃x0∈R，1f(x0)≤2C.∃x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)2D.∀x∈R，f(x)≤1或f(x)2角度2含有量词(∀、∃)的参数取值问题【例3－2】(经典母题)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.6【迁移探究】若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是____________.【规律方法】1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练3】(2019·衡水调研)已知命题p：∀x∈R，log2(x2＋x＋a)0恒成立，命题q：∃x0∈[－2，2]，2a≤2x0，若命题p和q都成立，则实数a的取值范围为________.【反思与感悟】1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法(1)定义法(2)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}；①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；7②若AØB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；③若A＝B，则p是q的充要条件.2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.【易错防范】1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.【核心素养提升】逻辑推理、数学运算——突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型1形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g(x2)＝f(x1)成立”【例1】已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝196x－13，若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.【评析】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.类型2形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”【例2】已知函数f(x)＝2x3x＋1，x∈12，1，－13x＋16，x∈0，12，函数g(x)＝ksinπx6－2k＋2(k0)，若存在x1∈[0，1]及x2∈[0，1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围.8【评析】本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型3形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)g(x2)成立”【例3】已知函数f(x)＝x＋4x，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈12，1，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________.【评析】理解量词的含义，将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max，利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式求得a的取值范围.思考1：在[例3]中，若把“∃x2∈[2，3]”变为“∀x2∈[2，3]”时，其它条件不变，则a的取值范围是________.问题“等价转化”为[f(x)]max≤[g(x)]min，请读者完成.思考2：在[例3]中，若将[例3]中“∀x1∈12，1”改为“∃x1∈12，1”，其它条件不变，则a的取值范围是________.问题“等价转化”为f(x)min≤g(x)max，请读者自行求解.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟)一、选择题1.命题“∃x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是()A.∃x∈Z，使x2＋2x＋m0B.不存在x∈Z，使x2＋2x＋m0C.∀x∈Z，使x2＋2x＋m≤09D.∀x∈Z，使x2＋2x＋m02.命题“所有实数的平方都是正数”的否定是()A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数3.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2019·焦作模拟)命题p：cosθ＝22，命题q：tanθ＝1，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件106.已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x0∈R，x02＋4x0＋a＝0”.若命题p和q都成立，则实数a的取值范围是()A.(4，＋∞)B.[1，4]C.[e，4]D.(－∞，－1)7.(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.命题“∀x∈[1，2)，x2－a≤0”成立的一个充分不必要条件可以是()A.a≥1B.a1C.a≥4D.a4二、填空题9.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.10.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么p是q的________________条件.11.已知“p：(x－m)23(x－m)”是“q：x2＋3x－40”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.12.设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有