专题2.3-函数的奇偶性与周期性---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)

1第二篇函数及其性质专题2.03函数的奇偶性与周期性【考试要求】1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.【知识梳理】1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【微点提醒】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.2(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()【教材衍化】2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()A.y＝x2sinxB.y＝x2cosxC.y＝|lnx|D.y＝2－x3.(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x0，x，0≤x1，则f32＝________.【真题体验】4.(2019·济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是()3A.y＝x3B.y＝x14C.y＝|x|D.y＝|tanx|5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.6.(2019·上海崇明区二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则当x∈[1，2]时，f(x)＝________.【考点聚焦】考点一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝lg(1－x2)|x－2|－2；(3)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.【规律方法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；4(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.【训练1】(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y＝x＋sin2xB.y＝x2－cosxC.y＝2x＋12xD.y＝x2＋sinx(2)已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A.f(x)＋g(x)是偶函数B.f(x)＋g(x)是奇函数C.f(x)g(x)是奇函数D.f(x)g(x)是偶函数考点二函数的周期性及其应用【例2】(1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50B.0C.2D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.【规律方法】51.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.【训练2】(1)(2019·南充二模)设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则f－92＝()A.－34B.－14C.14D.34(2)(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.考点三函数性质的综合运用角度1函数单调性与奇偶性【例3－1】(2019·石家庄模拟)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为()A.[－3，3]B.[－2，4]C.[－1，5]D.[0，6]【规律方法】1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.角度2函数的奇偶性与周期性6【例3－2】(1)(2019·山东省实验中学检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋5)＝f(x)，且当x∈0，52时，f(x)＝x3－3x，则f(2018)＝()A.2B.－18C.18D.－2(2)(2019·洛阳模拟)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝π3，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝()A.π3B.2π3C.πD.4π3【规律方法】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练3】(1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________.(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(lnt)＋fln1t≤2f(1)，那么t的取值范围是________.【反思与感悟】1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性7的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.【易错防范】1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.【核心素养提升】【数学运算】——活用函数性质中“三个二级”结论类型1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.【例1】设函数f(x)＝（x＋1）2＋sinxx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.类型2抽象函数的周期性(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝1f（x）(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.【例2】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2017)＋f(2018)＝()A.3B.2C.1D.0类型3抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.8(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.【例3】(2019·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·玉溪模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是()A.y＝|log3x|B.y＝x3C.y＝e|x|D.y＝cos|x|2.(一题多解)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝log3（x＋1），x≥0，g（x），x0，则g(－8)＝()A.－2B.－3C.2D.33.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝2x2，则f(2019)等于()A.－2B.2C.－98D.9894.(一题多解)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bca5.(2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是()A.[－3，1]B.[－4，2]C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－4]∪[2，＋∞)二、填空题6.若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.7.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)＝4x，则f－52＋f(2)＝________.108.设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________.三、解答题9.已知函数f(x)＝－x2＋2x，x0，0，x＝0，x2＋mx，x0是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有f32＋x＝－f32－x成立.(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y