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1第六篇平面向量与复数专题6.04复数【考试要求】1.通过方程的解，认识复数；2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.【知识梳理】1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ→对应的复数为z＝a＋bi，则向量OZ→的长度叫做复数z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝a2＋b22.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则2(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝ac＋bd＋（bc－ad）ic2＋d2(c＋di≠0).【微点提醒】1.i的乘方具有周期性in＝1，n＝4k，i，n＝4k＋1，－1，n＝4k＋2，－i，n＝4k＋3(k∈Z).2.复数的模与共轭复数的关系z·z－＝|z|2＝|z－|2.3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()【教材衍化】2.(选修2－2P106A2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A.1B.2C.1或2D.－133.(选修2－2P116A1改编)复数52－i2的共轭复数是()A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i1＋i＝()A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(2019·青岛一模)已知复数z＝－1＋i(i是虚数单位)，则z＋2z2＋z＝________.【考点聚焦】考点一复数的相关概念【例1】(1)(2019·上海崇明区质检)已知z＝2－ii，则复数z的虚部为()A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z对应的点是Z(1，－2)，则复数z的共轭复数z－＝()A.2－iB.2＋iC.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z＝1＋i1＋ai为纯虚数，则实数a的值为()4A.1B.0C.－12D.－1【规律方法】1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.【训练1】(1)已知复数z满足：(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为()A.15－35iB.15＋35iC.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i为虚数单位，1－i＝2＋ai1＋i，则实数a＝()A.2B.1C.0D.－1考点二复数的几何意义【例2】(1)已知i是虚数单位，设复数z1＝1＋i，z2＝1＋2i，则z1z2在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z＝()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i5【规律方法】1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)OZ→＝(a，b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与【解析】几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【训练2】(1)设i是虚数单位，则复数11＋i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z，则z＋4z表示的复数为()A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i考点三复数的运算【例3】(1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝()A.－3－iB.－3＋iC.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A.0B.12C.1D.2(3)设复数z＝1＋2i，则z2＋3z－1＝()A.2iB.－2iC.2D.－26(4)1＋i1－i6＋2＋3i3－2i＝________.【规律方法】复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.【训练3】(1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝()A.3－2iB.3＋2iC.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i为虚数单位，则1＋i3－i＝()A.2－i5B.2＋i5C.1－2i5D.1＋2i5(3)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2－2z＝()A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i7【反思与感悟】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.【易错防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟)一、选择题1.已知复数(1＋2i)i＝a＋bi，a∈R，b∈R，则a＋b＝()A.－3B.－1C.1D.32.(2018·浙江卷)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i3.设复数z满足z－＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A.2－iB.2＋iC.1D.－1－2i84.下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1＋i)2B.i2(1－i)C.(1＋i)2D.i(1＋i)5.设z＝11＋i＋i(i为虚数单位)，则|z|＝()A.12B.22C.32D.26.若a为实数，且1＋2ia＋i为实数，则a＝()A.1B.12C.－13D.－27.(2019·豫南九校质量考评)已知复数a＋i2＋i＝x＋yi(a，x，y∈R，i是虚数单位)，则x＋2y＝()A.1B.35C.－35D.－18.(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z满足(1＋i)z＝|3＋i|，则在复平面内，z－对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、填空题99.(2018·天津卷)i是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________.10.复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________.11.(2019·西安八校联考)若a＋bii(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________.12.在复平面内，O为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB→对应的复数为________.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019·烟台检测)设a，b∈R，a＝3＋bi3－2i(i是虚数单位)，则b＝()A.－2B.－1C.1D.214.设x∈R，i是虚数单位，则“x＝2”是“复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件1015.计算1＋i1－i2019＋1－i1＋i2019＝()A.－2iB.0C.2iD.216.(2019·湖南三湘名校联考)已知i为虚数单位，复数z＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是()A.z的共轭复数为75－4i5B.z的虚部为85C.|z|＝3D.z在复平面内对应的点在第一象限