第3章-随机过程

第三章随机过程随机变量随机过程平稳随机过程及其特点高斯过程与高斯白噪声随机过程通过系统窄带高斯过程与窄带高斯白噪声正弦波加窄带高斯噪声3.1随机变量一、概念二、统计特性随机变量X，概率密度函数f(x)三、数字特征——数学期望——方差——协方差随机变量X的数学期望定义物理意义表示随机变量的均值直流分量性质C是常数，则E(C)=C。C是常数，则E(C·X)=C·E(X)。X、Y是任意两个随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)。X、Y是两个互相独立的随机变量，则E(X·Y)=E(X)·E(Y)。dxxxfXE)()(随机变量X的方差定义物理意义表示随机变量与均值的偏离程度交流功率方差一般也用表示，其平方根称为标准方差2222)()()()]([)()(XEXEdxxfXExXExEXD2XX随机变量X的协方差定义E(XY)称相关函数物理意义描述两维随机变量(X,Y)的相互关系几个概念独立f(x,y)=f(x)f(y)不相关COV(X,Y)=0正交E(XY)=0)()()()()(),(YEXEYXEYEyXExEYXCOV3.2随机过程一、概念二、统计特性一、概念样本函数：随机过程的一个实现随机过程：样本函数的集合任意时刻的取值为随机变量随机过程没有确定的时间函数，只能从统计角度，用概率分布和数字特征来描述。x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk二、统计特性概率分布数学期望（均值）方差协方差函数相关函数1.概率分布随机过程ξ(t)在任一时刻t1的取值是随机变量，则随机变量ξ(t1)的取值小于等于某一数值x1的概率为ξ(t)的一维概率分布函数：})({),(11111xtPtxFξ(t)的一维概率密度函数：1111111),(),(xtxFtxf概率分布(续)})()(,)({),;,(22112121nnnnnxtxtxtPtttxxxFnnnnnnnnxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),;,(),;,(ξ(t)的n维概率分布函数和n维概率密度函数分别是：2.数学期望（均值）)(),()]([1tadxtxxftE物理意义：表示随机过程在各个时刻的摆动中心（平均值）()tt012()()()nttta(t)3.方差)()]}([)({)]((22ttEtEtD物理意义：表示随机过程在某时刻的取值（随机变量）对该时刻的期望的偏离程度()tt012()()()ntttσ(t)4.协方差函数)]}()()][()({[),(221121tattatEttB物理意义：表示随机过程在两个时刻间的线性依从关系5.相关函数tOs(t)2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttR物理意义：表示随机过程在两个时刻的取值的关联程度，ξ(t)变化越平缓，两个时刻取值的相关性越大，R值越大tOs(t)3.3平稳随机过程及其特点定义若随机过程的n维概率分布函数Fn()和n维概率密度函数fn()与时间起点无关，则为平稳随机过程（严平稳）特点统计特性与时间起点无关（广义平稳的定义）a(t)a;R(t1,t2)R(τ)特点(续)各态历经性：设x(t)是ξ(t)的任一实现，ξ(t)的统计平均=x(t)的算术平均22)(1limTTTdttxTaa22)()(1)()(limTTTdttxtxTRR意义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。例题设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。【解】(1)先求(t)的统计平均值：(2)求(t)的时间平均值(3)比较统计平均与时间平均)cos()(tAtccARtacos2)(;0)(2特点(续)以相关函数表示随机过程的物理特性ξ(t)的平均功率：S=E[ξ2(t)]=R(0)ξ(t)的直流功率：a2=E2[ξ(t)]=R(∞)ξ(t)的交流功率：σ2=R(0)-R(∞)相关函数其他性质R(τ)=R(-τ)|R(τ)|≤R(0)R(0)为上界2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttR特点(续)以相关函数表示随机过程的频域特性ξ(t)的功率谱：deRPj)()()()(RP即：ξ(t)的平均功率：dffPdPS)()(21即：平均功率=功率谱曲线下的面积fOPo()fH-fHn02K02维纳-辛钦关系例题求随机相位正弦波ξ(t)=cos(w0t+θ)的自相关函数和功率谱密度,在(0,2π)内均匀分布。解：证明(t)是广义平稳过程求自相关函数功率谱密度平均功率cARcos2)(2)]()([2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS3.4高斯随机过程与高斯白噪声单频噪声脉冲噪声起伏噪声热噪声散弹噪声宇宙噪声起伏噪声为高斯随机过程信道中的噪声一、高斯随机变量随机变量ξ，若概率密度函数为则称ξ服从高斯分布（正态分布）]2)(exp[21)(22axxf，ξ的分布函数：)2(2121)2(2121)()(axerfcaxerfdzzfxFxf(x)12Oax定义Q函数：)()()2exp(21)(2axQxPdzzxQx误差函数：dzexerfzx202)(互补误差函数：)2(22)(1)(2xQdzexerfxerfczx几个定义二、高斯白噪声—时域特性随机过程ξ(t)，在任一时刻的取值（随机变量）都符合高斯分布，则称ξ(t)服从高斯分布。其n维概率密度函数为：高斯过程只依赖数字特征，即均值和协方差函数高斯过程若是宽平稳的，也是严平稳的高斯过程不同时刻的取值若互不相关，则彼此独立高斯过程经过线性系统后仍是高斯过程各种起伏噪声，在任一时刻，噪声的振幅都符合均值a=0的高斯分布，故称为高斯噪声。njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121))((21exp...)2(1),...,,,...,,(；三、高斯白噪声—频域特性频域特性——近似白噪声白噪声：功率谱密度在整个频域内都均匀分布通信系统中的热噪声，在相当宽的频域内具有平坦的功率谱，故近似认为是白噪声。双边功率谱密度函数为：Pn(ω)=n0/2(W/Hz)n0/2fn00Pn（f）Pn（f）单边功率谱密度函数为：Pn(ω)=n0(W/Hz)高斯白噪声—频域特性(续)白噪声的自相关函数为：仅在τ=0时，R(τ)≠0，说明白噪声在任意两个时刻上的取值都是不相关的。)(2)(0nR，3.5随机过程通过系统一、随机过程通过线性系统二、随机过程通过乘法器（调制器）一、随机过程通过线性系统)()()(thttio随机过程ξi(t)通过线性系统h(t)，其输出也是随机过程输入信号输出信号系统ξo(t)Po(ω)h(t)H(ω)ξi(t)Pi(ω)随机过程通过线性系统(续)性质：若ξi(t)是平稳随机过程，则1.均值：E[ξo(t)]=E[ξi(t)]H(0)与t无关2.自相关函数：Ro(t1,t1+τ)=Ro(τ)与t1无关3.功率谱密度函数：2)()()()(HPdeRPiojo4.概率分布：若ξi(t)是高斯型的，经过线性系统后的ξo(t)也是高斯型的。例题求双边功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。fOH(f)fH-fHK二、随机过程通过乘法器(调制器)平稳随机过程X(t)经过调制器，输出随机过程Y(t)，Y(t)的功率谱为SY(ω)，自相关函数为RY(t,t+τ)Y(t)Sy(w)X(t)SX(w)Coswct随机过程通过乘法器(续))]2cos([cos2)()]2cos([cos2)]()([)](coscos)()([)]()([),(cccXcccccYtRttXtXEtttXtXEtYtYEttRRY(t,t+τ)与t有关，所以Y(t)不平稳，取其时间平均)(2cos),()(.xcYYRttRR与t无关，)]()([41)()()(.cXcXYYYSSSRS3.6窄带随机过程与窄带噪声-fcOS(f)fffcf(a)tOs(t)缓慢变化的包络[a(t)]频率近似为fc(b)一、窄带随机过程定义表示法1：)](cos[)()(tttatcaξ(t)对应信号的包络，υξ(t)对应信号的相位，ωc=2πfc窄带信号的中心频率（载频）表示法2：tttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats—同相分量—正交分量同相分量与正交分量tttttcsccsin)(cos)()(同相分量/正交分量与窄带信号的关系ξc(t)ξ(t)cosωctLPFH(w)=2-ξs(t)sinωctLPFH(w)=2二、窄带高斯白噪声窄带高斯白噪声可由高斯白噪声经过窄带滤波器得到。1.性质:窄带高斯白噪声的ξ(t)、ξc(t)、ξs(t)都是均值a=0的平稳高斯过程；ξ(t)、ξc(t)、ξs(t)的平均功率（方差）相同，为σ2同时刻ξc(t)、ξs(t)互相独立，不相关窄带高斯白噪声(续)2.时域特性——瑞利分布ξ(t)包络aξ(t)的一维分布符合瑞利分布，)2exp()(222xxxf相位υξ(t)的一维分布符合均匀分布，21)(faξ(t)和υξ(t)互相独立-fcOS(f)fffcfn0/2窄带高斯白噪声(续)3.频域特性——窄带白噪声同相分量/正交分量——带限白噪声-fcOSc(f),Ss(f)ffcfn0窄带高斯白噪声(续)4.等效带宽窄带噪声功率谱密度为：20)(2)(HnPnPn(ω)在±ω0处有最大值Pn(±ω0)定义：等效带宽Bn=ωn/2π)(2)(,)(2)(00nnnnnnPdfPBPdP窄带噪声—等效带宽(续)物理意义：使用等效带宽的概念，可以认为窄带噪声功率谱Pn(ω)在带宽Bn内是平坦的，等于Pn(ω0)面积相等Pn(f)Pn(fc)OBnffc窄带白噪声(续)三、带限白噪声（低通白噪声）带限白噪声的功率谱和自相关函数fOPo()ORo()fH－fHn02K0212fH－12fHK0n0fH2低通白噪声可由高斯白噪声经过低通滤波器得到。3.7正弦波加窄带高斯噪声1.时域特性合成信号)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()(22)](sin[)](cos[)(tnAtnAtzsc包络符合广义瑞利分布)(]2exp[)(202222AzIAzzzf其中,I0(x)为0阶修正贝塞尔函数正弦波加窄带噪声(续)2.频域特性—窄带白噪声加线谱-fcOS(f)fffcfn0/2总结——确知信号的分析时域频域信号通过线性系统信号调制TwFwPTT2