混沌理论2017

现代物理学概论混沌Content1.混沌的概念2.混沌与分岔的起源与发展3.混沌的特点4.混沌现象举例5.分岔的概念6.混沌的研究方法7.分岔的研究方法8.混沌在现代科技领域的应用一、混沌的概念混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一词由李天岩（Tian-yanLi）和约克（Yorke）于1975年首先提出。混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏感初始条件的非周期行为”。•当我们点燃一支烟，仔细地观察一缕缕青烟在无声无息中上升。突然，卷成一团团剧烈扰动的雾团，上下翻滚，最后向四处飘散。•当我们打开水龙头，晶莹的水流平稳而有序，汩汩而流。突然，水似乎像不听话的小孩，四处飞溅，变得毫无章法，此即著名的湍流。一、混沌的概念人们认识世界，人们探索科学几乎无一例外的从现象开始。平静的证券交易所正在进行各种业务交易，突然，风云突变，股票的情况乱七八糟，一场骇人听闻的金融风暴席卷而来，使所有人为之震惊。上面的三个现象属于完全不同的范畴和领域。但是，共性有两个关键词：突然，这一现象的产生极为突然；乱七八糟，这一现象的最大特点就是乱七八糟。总之，它是突然的从有序进入无序。美丽的蝴蝶会引起龙卷风吗哈勃望远镜拍下两星系“挽臂”旋转一、混沌的概念Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系统应该具有三种性质：1.存在所有周期的周期轨道；2.存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现；3.任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。混沌现象是一种普遍存在的复杂的运动形式。是确定论系统所表现的内在随机行为的总称，其根源在于系统内部的非线性交叉耦合作用，而不在于大量分子的无规则运动。随机性是概率论的语言，大体就是偶然性、混乱、无规则的意思。一、混沌的概念n周期点的定义：如果对于某x0，有f(n)(x0)=x0，但对于小于n的自然数k，有f(k)(x0)≠x0，则称x0为f的一个n周期点。n周期轨道的定义：当x0为f的一个n周期点时，称{x0,f(1)(x0),f(2)(x0),…,f(n-1)(x0)}为f的n周期轨道。Li-Yorke定理：设连续自映射，I是R的一个闭区间，如果：①存在一切周期的周期点；②存在不可数子集S，S不含周期点，使得118则称f在S上是混沌的。RIIf:yxSyxyfxfnnn,,,0)()(suplim)()(yxSyxyfxfnnn,,,0)()(inflim)()(为周期点,,0)()(suplim)()(pSxpfxfnnn二、混沌与分岔的起源与发展公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性。一颗质量很小的卫星在两颗大质量(为简单可设质量相等)的行星作用下运动。假定行星在它们之间的万有引力作用下绕其联线中心作圆周运动，而卫星质量很小，对行星运动的影响可以忽略。同时假定三个天体在同一平面内运动。现在要问：卫星在两颗行星作用下的运动情况如何呢？二、混沌与分岔的起源与发展庞加莱对三体问题进行了深入的探讨，以其巨大的智慧，超常丰富的想像力发明了一套独特的定性研究方法，证明了方程根本不存在数学解析解。当年并没有计算机，但庞加莱却能推断出卫星长期运动的轨道是缠来绕去，错综复杂的。他在《科学的价值》一书中肯定地指出：一个非常小的原因会引出一个我们不可能视而不见的重要结果。系统的运动和变化对初始条件的依赖极其敏感，系统的长期行为似乎有一种不确定性。庞加莱没有借助计算机而得到的结论竟完全正确。今天，用计算机通过数值计算很快可以得到卫星的运动轨迹，发现在三体问题中运动对初始条件的依赖的确敏感。当两次计算设初始速度相同而初始位置稍有出入时，计算表明，经过一段时间后，它们的轨迹就分开了很大距离，该系统的演化过程是不可长期预测的，二、混沌与分岔的起源与发展直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的研究得到迅速发展，如：Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌；Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌；Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。二、混沌与分岔的起源与发展控制论的创立者维纳曾引用一首民摇对混沌现象作了生动描述：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。这又不妨叫做“蹄钉效应”。蹄钉效应对混沌现象小误差的繁殖、生长和逐级放大的特点描绘得尤其逼真。三、混沌的特点1.对初值的敏感性混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千里”。1963年，荷兰科学家洛伦兹(HendrikAntoonLorenz)在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动流体块中的对流为模型，提出了著名的Lorenz方程。Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。三、混沌的特点2.内在随机性确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方程产生的随机性称之为内在随机性。混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重要特征之一。三、混沌的特点3.长期不可预测性由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。三、混沌的特点4.分形性分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质，它们具有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点集叫分形体。分维就是用非整数维-分数维来定量地描述分形的基本特性。三、混沌的特点5.普适性普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。6.遍历性遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够到达混沌区域内任何一点。三、混沌的特点7.奇怪吸引子相对于简单吸引子（不动点、极限环、环面）相空间的子集合又称混沌吸引子。由无限层的条带经过伸长和折叠的几何图像。它表示系统的状态随时间呈无规则的非周期变化;具有混沌的一切特征，对初始条件的敏感性，具有非整数的维数，即使原来的微分方程连续的依赖于参数，奇怪吸引子的结构也不是连续随参数变化，而往往是在参数变化的过程中其整体结构会发生突变，奇怪吸引子具有无穷嵌套的自相似结构。正如我们前面所说的，系统的混沌运动在相空间中无穷地缠绕、折叠和扭结，构成了具有无穷层次的自相似结构，这种结构称为奇异吸引子。典型的有：一、奇异Lorenz吸引子考虑Lorenz非线性微分方程组.,)(),(czxydtdzyzbxdtdyxyadtdx通常，人们用常数，另一组是。有时称为Prandtl数，为Rayleigh（雷利）数。系统既不能形成极限环（一个吸引集，它的轨道或轨线收敛且轨线具有周期性）也不能达到一个稳定状态，代之的是一个确定性的混沌。像其他混沌系统一样，Lorenz系统对初值很敏感，不管两个初始状态如何地挨近，它终将还是离散。尽管方程组看起来是足够地简单，但它还是引出了令人惊异的轨道，即奇异吸引子。)1.6(38,28,10cba4,92.46,28cbaab二、奇异Rossler(罗斯洛)吸引子Rossler非线性微分方程组来源于化学动力学的研究，该方程组如下：其中。系统也不能形成极限环，更不能达到一个稳定状态，得到的只是一个确定性的混沌。也像其他混沌系统一样，Rossler系统对初值非常敏感。不管两个初始状态如何地接近，最终还是发).(,,cxzbdtdzayxdtdyzydtdx7.5,2.0,2.0cba)2.6()2.6(散。尽管方程组看起来并不复杂，但它还是产生出令人眼花缭乱和奇异的轨道，即奇异吸引子。三、混沌的特点几种典型的混沌吸引子Chen’s吸引子Lorenz吸引子Rossler吸引子四、混沌现象举例机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的混沌振动正常的脑电波则近乎随机讯号，其脑电图曲线代表的就是典型的混沌现象单摆是我们熟知的确定性运动的典型，但当角度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能够进入混沌状态湍流、三体问题、蝴蝶效应、昆虫繁衍混沌现象举例--蝴蝶效应1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。混沌现象举例--昆虫繁衍假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。很显然，若产卵数大于1，则虫口就会迅速增加，“虫满为患”。但在虫口数目增大的同时又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接触感染而导致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。综合考虑正增长和负增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学抽象和变换后，在1976年生物学家罗伯特.梅最终得到虫口方程如下：Xn+1=λXn(1—Xn)式中各量的取值范围为n：1，2，3，···∞；Xn：[0，1]；λ：[0，4]物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。一个以为连续变量的单参数的动力学系统：这里为系统参数。设系统状态作等间隔t，t+1，t+2，t+3，…变化，则时间演化方程改写为：当时间间隔不取整数，各时刻写成相应的状态为：时间演化方程变成离散方程：数学上称为映射的方程。在非线性发展史上第一个将映射方程用于研究系统进入混沌状态的是美国科学家梅(MayRobert)yfx(,)xtfxt()(,())1)(nntxx),(1nnxfx映射方程1．平方映射nxxx,,21tnttttttttn