含参数的一元二次不等式的解法

解答下列问题：(1)不等式xx－11的解集是________．(2)不等式x2＋|x|－20的解集是________．(3)不等式x－x＋1≥1的解集为________．(4)xx－a0的解集是{x|－2x0}，则不等式ax2＋5x＋70的解集为________．[答案](1){x|x1}(2){x－1或x1}(3){x|x≥3}(4){x|－1x72}[解析](1)xx－11化为xx－1－10，∴1x－10，∴x1.(2)解法一：不等式化为|x|2＋|x|－20，∴|x|≥0，∴|x|1，∴x－1或x1.解法二：化为x2＋x－20x≥0(Ⅰ)或x2－x－20x0(Ⅱ)由(Ⅰ)得，x1；由(Ⅱ)得，x－1.∴原不等式的解集为{x|x－1或x1}．(3)将不等式变形为x－1≥x＋1，①显然x－1≥0x＋1≥0，∴x≥1，在此条件下，将不等式①两边平方得x2－2x＋1≥x＋1，∴x2－3x≥0，∴x≤0或x≥3，又x≥1，∴x≥3.(4)由条件知，a＝－2，∴不等式ax2＋5x＋70，即－2x2＋5x＋70，∴2x2－5x－70，∴－1x72.1．一元分式不等式一般要转化为整式不等式求解．fxgx＞0⇔f(x)·g(x)＞0；fxgx≥0⇔fx·gx≥0gx≠0⇔f(x)·g(x)＞0或fx＝0gx≠0.2．一元高次不等式的解法(数轴标根法)．(1)将不等式通过移项分解因式化为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＞0(或＜0)的形式，其中xk(k＝1,2……n)是方程的n个不同的根，且每个因式中x的系数为1.(2)将n个不同的根标在数轴上，然后穿线．穿线时从轴上最右边一个根开始，由x轴上方向下穿过第一个根然后向左依次自下而上，自上而下画一条曲线连续穿过n个根．(3)数轴上方的曲线对应区间就是f(x)＞0的解集；数轴下方的曲线对应区间就是f(x)＜0的解集．(4)如果分解因式后有重根，则“奇过偶不过”，即乘方指数是奇数的画线时穿过x轴，乘方指数是偶数的，画线时到此根对应x轴上点后返回，不穿过去．3．含根号的不等式求解一般用平方法，但平方时一定要注意符合不等式性质的要求．4．含参数的不等式要弄清何种情况下需要讨论．命题方向分式不等式的解法[例1](1)(2010～2011·鹿邑三高高二期中)不等式x－1x≥2的解集为()A．[－1,0)B．[－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)(2)不等式2x－13－4x＞1的解集为________．[答案](1)A(2){x|23x34}[分析]此类不等式求解，要先移项通分化为fxgx＞0(或fxgx＜0)的形式再化为整式不等式．转化必须保持等价．[解析](1)x－1x－2≥0∴－x－1x≥0，∴xx＋1≤0x≠0，∴－1≤x＜0.(2)原不等式化为：6x－44x－3＜0，∴(6x－4)(4x－3)＜0，∴23＜x＜34，∴原不等式的解集为{x|23＜x＜34}．不等式3x－12－x≥1的解集是()A．{x|34≤x≤2}B．{x|x≤34或x＞2}C．{x|34≤x＜2}D．{x|x＜2}[答案]C[解析]不等式3x－12－x≥1，化为：4x－32－x≥0，∴34≤x＜2.命题方向简单高次不等式解法*[例2]不等式xx＋2x－3＜0的解集为()A．{x|x＜－2，或0＜x＜3}B．{x|－2＜x＜2，或x＞3}C．{x|x＜－2，或x＞0}D．{x|x＜0，或x＜3}[答案]A[分析]原不等式左端是分式，右端为0，属于AB0型，可等价转化为AB0，即x(x＋2)(x－3)0，依次令x＝0，x＋2＝0，x－3＝0得，x1＝0，x2＝－2，x3＝3，将数轴按此三数对应点分成四段，令y＝x(x＋2)(x－3)列出x与y的对应值如表：x(－∞，－2)－2(－2,0)0(0,3)3(3，＋∞)y－0＋0－0＋故不等式x(x＋2)(x－3)0的解集为(－∞，－2)∪(0,3)．[解析]原不等式等价于x(x＋2)(x－3)＜0.结合数轴穿根法(如图)可知：x＜－2或0＜x＜3.不等式2x3－3x2＋x0的解集为________．[答案]{x|0x12或x1}[解析]不等式化为x(x－1)(2x－1)0，方程x(x－1)(2x－1)＝0的三个根为x1＝0，x2＝1，x3＝12，如图∴不等式的解集为{x|0x12或x1}.x解关于的不等式：21(1)0xaxa（）2(2)20xaxa（2）21()10xaxa（3）242(1)40mxmx（）2510.axax（）含参数的不等式的解法对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，那么如何讨论呢？例1解关于的不等式00652aaaxax解:032)65(2xxaxxa∴(1)当时，原不等式变形为:0a32|xxx或32|xx∴(2)当时，原不等式变形为:0a例题讲解032xx∴当时，原不等式解集为:0a032xx分析:因为且，所以我们只要讨论二次项系数的正负.0a0∴当时，原不等式解集为:0ax综上所述：0|23axxx时，原不等式解集为：或0|23axx时，原不等式解集为：例题讲解例2:解关于x的不等式:220xkxk原不等式解集为解：228844kkkkkkxx由于x的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号.28kk（１）当即时，280kk80k原不等式解集为（２）当即时280kk08kk或0xx解集为：2xx解集为：分析:（３)当即时,280kk08kk或∴(a)当时,原不等式即为0k022X∴(b)当时,原不等式即为8k08822xx(3)当时,不等式解集为80k0xx(4)当时,不等式解集为0k(2)当时,不等式解集为2xx8k综上所述，(1)当时,不等式解集为8k228844kkkkkkxx228844kkkkkkxx(5)当时,不等式解集为0k又不等式即为(x-2a)(x-3a)0解:原不等式可化为：0)3(2axax相应方程的两根为0)3(2axaxaxax3,221∴(1)当即时，原不等式解集为23aa0a|23xxaxa或分析:2225240aaa此不等式故只需比较两根2a与3a的大小.(2)当即时，原不等式解集为0a23aa|32xxaxa或例题讲解综上所述：0|23axxaxa时，原不等式解集为：或0|32axxaxa时，原不等式解集为：或06522aaxx)0(a例3：解不等式，例4.x2+5ax+60解：由题意，得：⊿=25a2－241.当⊿=25a2－240，;22224525224525aaxaaxx或2.当⊿=25a2－24=0，3.当⊿=25a2－240,解集为：解集为：;25axRxx且时652652即a解集为：R.时652或652即aa时即652a典型题选讲（含参不等式的解法）变式1.x2+5ax+6a20解：因式分解，得:（x+3a)(x+2a)0，方程（x+3a)(x+2a)＝0的两根为－3a、－2a.①当－3a－2a即a0时，解集为：{x︱x－3a或x－2a};②当－3a=－2a即a=0时，解集为：{x︱x∈R且x≠0}；③当－3a－2a即a0时，综上：当a0时，解集为：{x︱x－2a或x－3a}.当a=0时，解集为：{x︱x∈R且x≠0};当a0时，解集为：{x︱x－3a或x－2a};解集为：{x︱x－2a或x－3a}.原不等式为x20变式2.ax2+(6a+1)x+60二、当a≠0时，6|解集为xx①当a0时，,01aaxx16解集为一、当a=0时，②当a0时，01a⑴时61即6,1当aa6或1:解集为xaxx⑶⑵时即当616,1aa6或:解集为xRxx时即当6106,1aaaxxx1或6:解集为6,1两根为061方程axax的∴综上，得;1x6x0.1aa时，解集为当;10.2xxa解集为时当，;1或6解集为时610当.3axxxa，;661.4xRxxa且解集为时当，.6161.5xaxxa或时，解集为当06x1x因式分解，得：a动手试试１、解关于x的不等式：.01)2(2xaax2、解关于x的不等式：042axxRmxxmx0141322的不等式、解关于)0(01)1(42axaaxx的不等式、解关于１、解关于x的不等式：.01)2(2xaax动手试试044222aaa解：两根为：解得方程0122xaaxaaaxaaax2422422221，aaaxaaaxxa242242|022或时，解集为当aaaxaaaxa242242|022时，解集为当}21|{0120xx　x　a，解集为时不等式可化为：当解：∵162a4,40a当即时R∴原不等式解集为；40a当即时,2axxRx且原不等式解集为；440aa当或即时，,此时两根分别为21621aax21622aax，显然21xx,∴原不等式的解集为：21621622aaxaaxx〈或解不等式042axx２、动手试试，动手试试Rmxxm0141322、解不等式22223414)4(,01mmm解21|30xxm时，解集为：即当1321323302222mmxmmxxm〈或时，解集为：即当Rmm时，解集为或即当330动手试试)0(01)1(42axaax、解不等式1,10)1(aaaaxax可得，令解：原不等式可化为：时，解集为或即当111aaaaaxaxaaaa1|1011时，解集为或即当axaxaaaa1|1011时，解集为或即当10x1{|1}xxa1{|1}xxa解:{|1}.xx解集为：即时，原不等式的解集为：1a（a）当11a.01)1(2xaaxx的不等式解关于（1)当时，原不等式的解集为：0a（二）当时,0a（一）当时,原不等式即为0a0)1)(1(xax1{|1}xxxa或（2)当时，有：0a11a（b）当11a（c）当即时，原不等式的解集为：10a即时，原不等式的解集为：1a原不等式变形为：其解的情况应由对应的两根与1的大小关系决定，故有：a1知识拓展综上所述，(5)当时，原不等式的解集为11xxxa或(2)当时，原不等式的解集为0a1xx11xxa(4)当时